清华大学
保送生暨自主
招生北京冬令营
数学笔试试题
（
2006
年
12
月
30
日
）
1.
求
的单调区间及极值
.
2.
设正三角形
边长为
，
是
的中点三角形，
为
除去
后剩下三个三角形内切圆面积之和
.
求
.
3.
已知某音响设备由五个部件组成，
A
电视机，
B
影碟机，
C
线路，
D
左声道和
E
右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示
.
能听到声音，当且仅当
A
与
B
中有一工作，
C
工作，
D
与
E
中有一工作；且若
D
和
E
同时工作则有立体声效果
.
A 0.90
B 0.95
C 0.95
D 0.94
E 0.94
A 0.90
B 0.95
C 0.95
D 0.94
E 0.94
求：（
1
）能听到立体声效果的概率；
（
2
）听不到声音的概率
.
4.(1)
求三直线
，
，
所围成三角形上的整点个数；
(2)
求方程组
的整数解个数
.
5.
已知
，△
ABC
是正三角形，且
B
、
C
在双曲线
一支上
.
(1)
求证
B
、
C
关于直线
对称；
(2)
求△
ABC
的周长
.
6.
对于集合
，称
M
为开集，当且仅当
，
，使得
.
判断集合
与
是否
为开集，并证明你的结论
.
清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题
