上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

上海交通大学 2005 年保送、推优生数学试题 一、填空题 （每小题 5 分，共 50 分） 1 ． 方程 的两根 满足 ，则 p _______ （ p R ） ． 2 ． ，则 x =________________ ． 3 ．已知 n Z ，有 ，则 n ______________ ． 4 ．将 3 个 12cm × 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这 6 部分接于一个边长为 的正六边形上（如下图） ， 若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为 _____________ ． 5 ．已知 ， x 、 y R ，则 ( x , y ) =_______________ ． 6 ． =___________ ． 7 ．若 z 3 =1 ，且 z C ，则 z 3 2 z 2 2 z 20 _____________ ． 8 ．一只蚂蚁沿 1×2×3 立方体表面爬，从 一 对角线一端到另一端最短距离为 _____________ ． 9 ． 4 封不同的信放入 4 只写好地址的信封中，装错的概率为 ______ ，恰好只有 一 封装错的概率为 _______ ． 10 ．已知等差数列 { a n } 中， ， =______________ ． 二、解答题 （第 1 题 8 分，第 2 、 3 、 4 题各 10 分，第 5 题 12 分） 1 ． 的三根分别为 a , b , c ，并且 a , b , c 是不全为零的有理数，求 a , b , c 的 值 ． 2 ．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 (1) 最大角是最小角的两倍 ； (2) 最大角是最小角的三倍 ； 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由 ． 3 ． 的最大值为 9 ，最小值为 1 ，求实数 a , b ． 4 ． 已知月 利率为 ，采用等额还款方式，则若本金为 1 万元，试推导每月等额还款金额 m 关于 的函数关系式（假设贷款时间为 2 年） ． 5 ．对于数列 { a n } ： 1,3,3,3,5,5,5,5,5, …， 即正奇数 k 有 k 个 ，是否存在整数 r , s , t ，使得对于任意正整数 n 都有 恒 成立（ [ x ] 表示不超过 x 的最大整数） ．