上海交通大学
2004
年保送生考试数学试题
(90
分钟
)2004.1.3
一、填空题：
1
．
已知
x
,
y
,
z
是非负整数，且
x
+
y
+
z
=10
，
x
+2
y
+3
z
=30
，
则
x
+5
y
+3
z
的范围是
__________
．
2
．
长为
l
的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是
_________
．
3
．
函数
（
）的值域是
_____________
．
4
．
已知
a
,
b
,
c
为三角形三边的长，
b
=
n
，且
a
≤
b
≤
c
，
则满足条件的三角形的个数为
________
．
5
．
和
的最大公约数为
，
最小
公
倍数为
，
则
=______,
=_______,
=_______,
=__________
．
6
．
已知
,
则方程
的相异实根的个数是
__________
．
7
．
的
个
位数是
______________
．
8
．
已知数列
满足
,
，
且
，
则
=____________
．
9
．
的正方格
,
任取得
长方形是正方形的概率是
__________
．
10
．
已知
,
则
=_______________
．
11
．
12
．
二、解答题
1
．
已知矩形的长、宽分别为
a
、
b
，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，
求所得
折线长
．
2
．
某二项展开式中，相邻
a
项的
二项式
系数之比为
1
：
2
：
3
：
…
：
a
，求二项式的次数、
a
、以及
二项式
系数
．
3
．
f
(
x
)=
ax
4
+
x
3
+(5
8
a
)
x
2
+6
x
9
a
，证明：（
1
）总有
f
(
x
)=0
；（
2
）总有
f
(
x
)≠0
．
4
．
，对于一切自然数
n
，都有
，且
，求
．
5
．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中
心的轨迹
．
6
．已知
为公差为
的等差数列，
．
(1)
用
、
、
表示数列
的通项公式；
(2)
若
，
，求
的最小值及取最小值时的
的值
．
上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3
