上海交通大学2008年冬令营数学试题（解析）

2008 年 上海交通大学 冬令营数学试题 2008.1.1 一 ．填空题 1 ． 若 ， ，则 ． 2 ． 函数 的最大值为 __________ ． 3 ．等差数列中， ，则前 项和 取最大值时， 的值为 __________ ． 4 ．复数 , 若存在负数 使得 ，则 ． 5 ．若 ，则 ． 6 ．数列 的通项公式为 ，则这个数列的前 99 项之和 ． 7 ． …… 中 的系数为 ． 8 ．数列 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此数列的通项公式为 ． 9 ．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的 80% ，乙厂生产的占 20% ；甲厂商品的合格率为 95% ，乙厂商品的合格率为 90% ．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ． 10 ．若曲线 与 的图像有 3 个交点，则 ． 二．解答题 1 ． 30 个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为 ；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 ． （１） 是否有可能比 高？ （２） 和 是否可能相等？ 2 ．已知函数 ，且 没有实数根．那么 是否有实数根？并证明你的结论． 3 ．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组，进行主客场比赛．规 定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于 4 支队伍均为强队，每支队伍至少得 3 分．于是 甲专家 预测：中国队至少得 10 分才能确保出线； 乙专家 预测：中国队至少得 11 分才能确保出线． 问：甲、 乙专家 哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑 中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 4 ．通信工程中常用 n 元数组 表示信息，其中 或 1 ， ．设 ， ， 表示 和 中相对应的元素不同的个数． （１） 问存在 多少个 5 元数组 使得 ； （２） 问存在 多少个 5 元数组 使得 ； （３）令 ， ， ， 求证： ． 5 ．曲线 与圆 交于 两点，线段 的中点在 上，求 ． 2008 年交大冬令营数学试题 参考答案 2008.1.1 一 ．填空题 1 ． 若 ， ，则 ． 2 2 ． 函数 的最大值为 __________ ． 3 ．等差数列中， ，则前 项和 取最大值时， 的值为 __________ ． 20 4 ．复数 , 若存在负数 使得 ，则 ． 5 ．若 ，则 ． 6 ．数列 的通项公式为 ，则这个数列的前 99 项之和 ． 7 ． …… 中 的系数为 ． 3921225 8 ．数列 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此数列的通项公式为 ． 9 ．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的 80% ，乙厂生产的占 20% ；甲厂商品的合格率为 95% ，乙厂商品的合格