专题28数列B辑（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 28 数列 B 辑 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2010 高中数学联赛（第 02 试）】 给定整数 n >2 ，设正实数 满足 a k ≤1 ， k =1 ， 2 ， … ， n ，记 ， 求证： . 2 ．【 2008 高中数学联赛（第 02 试）】 设 f ( x ) 是周期函数， T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0< T <1. 证明： (1) 若 T 为有理数，则存在素数 p ，使 是 f ( x ) 的周期； (2) 若 T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 { a n } 满足 ，且每个 a n 都是 f ( x ) 的周期 . 3 ．【 2008 高中数学联赛（第 02 试）】 设 a k >0 ， k =1 ， 2 ， … ， 2008. 证明：当且仅当 时，存在数列 { x n } 满足以下条件： (1) ； (2) 存在 ； (3) ， . 4 ．【 2006 高中数学联赛（第 02 试）】 已知无穷数列 { a n } 满足 . (1) 对于怎样的实数 x 与 y ，总存在正整数 n 0 ，使当 时， a n 恒为常数 ? (2) 求通项 a n . 5 ．【 2004 高中数学联赛（第 02 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中， y 轴的正半轴上的点列 { A n } 与曲线 上的点列 { B n } 满足 . 直线 在 x 轴上的截距为 a n ，点 B n 的横坐标为 b n ， n ∈ N + . (1) 证明 . (2) 证明存在 ，使得对 ，都有 . 6 ．【 2000 高中数学联赛（第 02 试）】 设数列 { a n } 和 { b n } 满足 ，且 ， n =0 ， 1 ， 2 ， … ，证明 a n ( n =0 ， 1 ， 2 ， …) 是完全平方数 . 7 ．【 1998 高中数学联赛（第 02 试）】 设 有 ， 求证 ， 并问：等号成立的充要条件 . 8 ．【 1998 高中数学联赛（第 02 试）】 对于正整数 a ， n ，定义 ，其中 q ， r 为非负整数， a = qn + r ，且 0≤ r < n . 求最大的正整数 A ，使得存在正整数 ，对于任意的正整数 a ≤ A ，都有 . 证明你的结论 . 9 ．【 1996 高中数学联赛（第 02 试）】 设数列 { a n } 的前 n 项和 ( n =1 ， 2 ， …) ，数列 { b n } 满足 ( k =1 ， 2 ， …) ，求数列 { b n } 的前 n 项和 . 10 ．【 1993 高中数学联赛（第 02 试）】 设 A 是一个含有 n 个元素的集合， A 的 m 个子集 两两互不包含试证： (1) ； (2) . 其中 表示 所含元素的个数， 表示从 n 个不同元素中取 个元素的组合数 . 11 ．【 1991 高中数学联赛（第 02 试）】 设 S ={1 ， 2 ， … ， n } ， A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在 S 中，且添加 S 的其他元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列 . 求这种 A 的个数 ( 这里只有两项的数列也看作等差数列 ). 12 ．【 1988 高中数学联赛（第 02 试）】 已知 a 1 =1 ， a 2 =2 ， . 试证：对一切 n ∈ N ， a n ≠0 ， a n 不是 4 的倍数 . 13 ．【 1986 高中数学联赛（第 02 试）】 已知实数列 满足 ( i =1 ， 2 ， 3 ， …… ) ，求证：对于任何自然数 n ， P ( x )= 是 x 的一次多项式 . 优质模拟题 强化训练 1 ． 已知数列 的前 项和为 ， 且 。 （ 1 ）证明： ，并求 的通项公式； （ 2 ）构造数列 求证：无论给定多么大的正整数 ，都必定存在一个 ，使 . 2 ． 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 交椭圆 于 两点， 为左准线上一点，直线 的方向向量分别为 . （ 1 ） 求证： 成等差数列； （ 2 ） 能否成等比数列？试述理由 . 3 ． 已知数列 的前 项和为 ，且满足 . （ 1 ） 求数列 的通项 . （ 2 ） 若 ，求数列 的最大值项 . （ 3 ） 对于（ 2 ）中数列 ，是否存在 ？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由 . 4 ． 已知数列 满足 ， . 求证： （ 1 ） ； （ 2 ） . 5 ．已知数列 满足 ， 。 （ 1 ）求数列 的通项； （ 2 ）求证： 。 6 ． 已知集合 ， ， … ， 是集合 的不同子集，满足下列条件： （ i ） 且 ，； （ ii ） 的充要条件是 ； 请回答下列问题： （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 的最小值． 7 ．已知无穷正数数列 满足： （ 1 ）存在 ，使得 ； （ 2 ）对任意正整数 、 ，均有 ， 求证： . 8 ． 设 是定义在定义域 上的函数 . 若对任何实数 以及 中的任意两数 、 ， 恒有 ， 则称 为定义在 上的 函数 . （ 1 ） 已知 是 上的 函数 ， 是给定的正整数 . 设 ， 且 ， ， 记 . 对于满足条件的任意函数 ， 试求 的最大值 . （ 2 ） 若 是定义域为 的函数 ， 且最小正周期为 ， 证明 ： 不是 上的 函数 . 9 ． 正整数数列 满足： （ 1 ）求 ； （ 2 ）求最小的正整数 ，使得 。 10 ．从 1~2010 中选出总和为 1006779 的 1005 个数 ， 且这 1005 个数中任意两数之和都不等于 2011. （ 1 ） 证明 : 为定值 ; （ 2 ） 当 取最小值时 ， 求 中所有小于 1005 的数之和。 11 ． 设 ，其中， ， 正整数 k 具有如下的性质：存在正整数 m ，使 都属于 A ，而 m 、 都不属于 A ． 求这样的正整数 k 的所有取值的集合 ． 12 ．设 ， ， ，其中， 、 、 为给定的实数． （ 1 ）求 的表达式． （ 2 ） 问：当 为何值时，极限 存在？如果存在，请求出其值． 13 ．设数列 满足 ， ， 试求 ． 14 ． 已知数列 ， 证明： 15 ． 设数列 的通项公式是