平面向量六大微专题：从高考到联赛
在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的六大微专题，从高考模考的一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备
.
微专题
1.
等和线及应用
微专题
2.
极化恒等式
微专题
3.
矩形大法
微专题
4.
三角形四心向量表示
微专题
5.
奔驰定理
微专题
6.
向量隐圆
微专题
2.
极化恒等式
由于
，
两式相减可得：
特别，在
中，设
，点
为
中点，再由三角形中线向量公式可得：
.
例
2
．（
2017
年
2
卷）已知
是长为
2
的等边三角形，
为平面
内一点，则
的最小值是
( )
B
．
C
．
D
．
解析：设点
为
中点，可得
，再设
中点为
，这样用极化恒等式可知：
，在等边三角形
中，
，故
取最小值当且仅当
取最小，即
，故
.
练习
2.
（
2021
成都三诊）已知等边
的三个顶点均在圆
上，点
，则
的最小值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
例
3
如图所示，矩形
ABCD
的边
AB
=4
，
AD
=2
，以点
C
为圆心，
CB
为半径的圆与
CD
交于点
E
，若点
P
是圆弧
(
含端点
B
、
E
)
上的一点，则
·
的
取值范围是
.
【
答案
】
【分析】
取
AB
的中点设为
O
，则
，
然后利用平几知识确定
PO
的取值范围，代入即可
.
【
解析
】
取
AB
的中点设为
O
，则
，
当
O
、
P
、
C
共线时，
PO
取得最小值为
；当
P
与
B
（或
E
）重合时，
PO
取得最大值为
PO=
2
，
所以
的
取值范围是
.
例
4
半径为
2
的圆
O
上有三点
A
，
B
，
C
，满足
，点
是圆内一点，则
的取值范围是（
）
A
.
B
.
C
.
D
.
【答案】
A
【分析】直接两次使用极化恒等式即可
.
【解析】由
得
在平行四边形
中，
，
故易知四边形
是菱形，且
设四边形
对角线的交点为
E
由极化恒等式得
所以
因为
是圆内一点，所以
所以
，即
，选
A
.
例
5
在
△
ABC
中，
AC
＝
2
BC
＝
4
，
∠
AC
B
为钝角，
M
，
N
是边
AB
上的两个动点，且
MN
＝
1
，若
的最小值为
，则
cos
∠
ACB
＝
．
【答案】
【分析】取
MN
的中点
P
，
由极化恒等式将“
的最小值为
”转化为
AB
边上的高
C
H
=1
，然后利用两角差的的余弦公式求解
.
【解析】取
MN
的中点
P
，
则由极化恒等式得
∵
的最小值为
∴
由平几知识知：当
CP
⊥
AB
时，
CP
最小
.
如图，作
C
H
⊥
AB
，
H
为垂足，则
C
H
=1
又
AC
＝
2
BC
＝
4
，所以∠
B
＝
30
o
，
sin
A
=
所以
cos
∠
ACB
＝
cos
（
150
o
－
A
）
=
.
H
H
练习
3.
（
2020
成都二诊）已知
为圆
的一条直径，点
的坐标满足不等式组
则
的取值范围为（
）
B
．
C
．
D
．
联赛真题汇编：
练习
4.
（
2016
年陕西预赛）
设
是同一平面内的三个单位向量，且
，则
的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
练习
5.
（
2018
浙江预赛）
设
.
若平面上点
P
满足，对于任意
,
有
，则
的最小值为
________
，此时
________.
6
练习
6.
（
2014
河南预赛）
已知
为椭圆
上任意一点，
为圆
的任意一条直径，则
的取值范围是
__________
．
[5,21]
平面向量六大微专题：从高考到联赛-微专题1.极化恒等式(专题讲义) 高一下学期数学通用版
