专题31不等式（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 31 不等式 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2019 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设正实数 满足 . 记 . 证明 : . 2 ．【 2018 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设 a 、 b 是实数，函数 ， 证明 : 存在 ，使得 . 3 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设实数 a 、 b 、 c 满足 a + b + c =0. 令 ，证明 : . 4 ．【 2014 高中数学联赛（第 02 试）】 设实数 a ， b ， c 满足 a + b + c =1 ， abc >0. 求证 . 5 ．【 2013 高中数学联赛（第 02 试）】 一次考试共有 m 道试题， n 个学生参加，其中 m ， n ≥2 为给定的整数 . 每道题的得分规则是：若该题恰有 x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得 x 分，未答对的学生得零分 . 每个学生的总分为其 m 道题的得分总和 . 将所有学生总分从高到低排列为 ，求 的最大可能值 . 6 ．【 2012 高中数学联赛（第 02 试）】 设 是平面上 n +1 个点，它们两两间的距离的最小值为 d ( d >0). 求证 . 7 ．【 2009 高中数学联赛（第 02 试）】 求证不等式： ， . 8 ．【 2005 高中数学联赛（第 02 试）】 设正数 a ， b ， c ， x ， y ， z 满足 cy + bz = a ， az + cx = b ， bx + ay = c . 求函数 的 最小值 . 9 ．【 2001 高中数学联赛（第 02 试）】 设 且 ， 求 的最大值与最小值 . 10 ．【 1989 高中数学联赛（第 02 试）】 已知 满足 ， . 求证： . 11 ．【 1984 高中数学联赛（第 02 试）】 设 都是正数，求证 . 12 ．【 1983 高中数学联赛（第 02 试）】 函数 在 上的最大值 M 与 参数 A ， B 有关 . 问 A ， B 取什么值时， M 为最小 ? 证明你的结论 . 优质模拟题 强化训练 1 ． 设 . 证明： . 2 ．设 ，且 . 证明： . 3 ．设 为非负数，求证： . 4 ． 已知正整数集合 满足对任意 ，且 ，有 . 试求 的最小值 . 5 ． 设正数 x 、 y 满足 . 求使 恒成立的实数 的最大值 . 6 ． 已知， x 、 y 、 z ＞ 0. 求 的最小值 . 7 ． 已知 x 、 y 、 z . 证明 ， 并指出等号成立的条件 . 8 ．设正整数 n≥2, 求 f(n) 的最大值，使得对所有满足 ，且 的实数 均有 . 9 ． 在锐角 △ABC 中，证明 : . 10 ．求所有的正实数 k ，使得对于任意正实数 a 、 b 、 c ，均有 . 11 ．设 、 、 为非负实数，且 ， 证明 ： ． 12 ． 若 、 、 ，且满足 ，证明 ： ，其中 “ ” 表示轮换对称和 ． 13 ． 已知函数 满足 ，且对任意 ， ． 证明： ． 14 ． 已知 、 、 为非负实数 ， 证明 ： ，其中， “ ” 表示轮换对称和 ． 15 ．设 为互不相等的正数 ， 证明： 16 ． 已知 三个内角分别为 . 求 的最大值 . 17 ． 设 ，其中， . 证明：对任意 ， ，有 . 18 ． 已知实数 、 、 ，且满足 ， 证明 ： 对任意的正整数 均有 ． 19 ． 设 . 对所有不同的子集 ，有 . 证明： . 20 ．对任意的 ，证明： . 高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 31 不等式 历年联赛 真题 汇编 1 ．【 2019 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设正实数 满足 . 记 . 证明 : . 【答案】证明见解析 【解析】 注意到 . 对 k =1 ， 2 ， … ， 99 ，由平均值不等式知 ， 从而有 ① 记 ① 式的右端为 T ，则对任意 i =1 ， 2 ， … ， 1 00 ， a i 在 T 的分子中的次数为 i － 1 ，在 T 的分母中的次数为 100 － i . 从而 . 又 ，故 T ≤1 ， 结合 ① 得 . 2 ．【 2018 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设 a 、 b 是实数，函数 ， 证明 : 存在 ，使得 . 【答案】证明见解析 【解析】 证法一只需证明存在 u ， v ∈ [1 ， 9] ，满足 ，进而由绝对值不等式得 ， 故 与 | f ( v )|≥2 中至少有一个成立 . 当 时，有 . 当 时，有 . 再分两种情况 : 若 ，则 . 若 ，则 . 综上可知，存在 u ， v ∈ [1 ， 9] ，满足 f ( u ) － f ( v )≥4 ，从而命题得证 . 证法二用反证法 . 假设对任意 x ∈ [1 ， 9] ，均有 | f ( x )|<2 ，则 易知 ① ② ③ 由 ① 、 ② 得， 2 a － 6= f (2) － f (1) ；又由 ② 、 ③ 得， 6 a － 2= f (3) － f (2). 由上述两式消去 a ，可知 . 但 ，矛盾 ! 从而命题得证 . 3 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设实数 a 、 b 、 c 满足 a + b + c =0. 令 ，证明 : . 【答案】证明见解析 【解析】 当 d ≥1 时，不等式显然成立 以下设 0≤ d <1. 不妨设 a 、 b 不异号，即 ab ≥0 ， 那么有 . 因此 . 4 ．【 2014 高中数学联赛（第 02 试）】 设实数 a ， b ， c 满足 a + b + c =1 ， abc >0. 求证 . 【答案】证明见解析 【解析】 证法一若 ， 则命题已成立 . 若 ， 不妨设 ， 则由 知 ， 我们有 ① 以及 ② 其中式 ① 的等号在 a = 时成立，式 ② 的等号在 a = 时成立，因此式 ① 与 ② 中等号不能同时成立 . 由于 ， 将式 ① 与 ② 相乘得 ， 即 ， 从而 . 证法二由于 abc >0 ，故 a ， b ， c 中或者一个正数，两个负数；或者三个都是正数 . 对于前一种情形，不妨设 a >0 ， b <0 ， c <0 ，则 ， 结论显然成立 . 下面假设 a >0 ， b >0