浙江省温州市苍南中学2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题 （原卷全解析版）

2023 年苍南中学高一数学家摇篮竞赛 满分： 120 分考试 时间： 90 分钟 一､单选题 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为 “ 同族函数 ”. 那么，函数解析式为 ，值域为 的同族函数共有（ ） 个 . A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设 . 则 的最大值为（ ） . A. B. C. D. 4. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意的 满足 且 ，则不等式 的解集为（      ） A. B. C. D. 5. 已知函数 值域与函数 的定义域相同，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 满足： （ 1 ）对任意 、 ， ，都有 ； （ 2 ）对任意 ，都有 . 则 的值是 . A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 二 ､ 多选题 7. 已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且 为偶函数，则（      ） A. 的对称轴为直线 B. 的对称轴为直线 C. D. 不等式 的解集为 8. 下列说法正确的有（      ） A. 已知 ，则 的最小值为 B. 若正数 x 、 y 满足 ，则 的最小值为 9 C. 若正数 x 、 y 满足 ，则 最小值为 3 D. 设 x 、 y 为实数，若 ，则 的最大值为 9. 德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为 ，则下列关于狄利克雷函数 的说法 错误 的是（ ） A. 对任意实数 ， B. 既不 奇函数又不是偶函数 C. 对于任意的实数 ， ， D. 若 ，则不等式 的解集为 10. 已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时， . 若 恒成立，则实数 的取值可能是（ ） A. -1 B. C. D. 1 三 ､ 填空题 11. 已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 ______ 12. 正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围 __________ . 13. 若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 为函数 的一个 “ 倒值区间 ” ．已知定义在 R 上的奇函数 ，当 时， ．那么当 时， ______ ；求函数 在 上的 “ 倒值区间 ” 为 ______ ． 14. 设 ，对函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，其值域是 _______ . 四 ､ 解答题 15. 已知函数 为幂函数，且 在 上单调递增 . （ 1 ） 求 的值，并写出 的解析式； （ 2 ） 解关于 的不等式 ，其中 . 16. 中华人民共和国第 14 届冬季运动会将于 2024 年 2 月 17 日至 2 月 27 日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估 . 该商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件 . （ 1 ） 据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 0.2 万件，要使销售 总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元 ? （ 2 ） 为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元 . 公司拟投入 万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用 . 试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 ? 并求出此时商品的 每件定价 . 17. 已知函数 ，定义域 ． （ 1 ） 写出函数 的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数 在 上的单调性； （ 2 ） 若 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3 ） 解不等式 ． 18. 设函数 （ a ≠0 ）满足 ， ， ，求当 时 的最大值． 2023 年苍南中学高一数学家摇篮竞赛 满分： 120 分考试 时间： 90 分钟 一 ､ 单选题 1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为 “ 同族函数 ”. 那么，函数解析式为 ，值域为 的同族函数共有（ ） 个 . A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】 C 【解析】 【详解】 . 选C. 2. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 由分式不等式的解法，求得不等式 的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解 . 【详解】由题意，不等式 可化为 ，即 ，解得 ， 即不等式的解集为 ， 所以 “ ” 是 “ ” 的充分必要条件 . 故选： C. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力 . 3. 设 . 则 的最大值为（ ） . A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【详解】 令 ，于是， . 上式等号在 ，即 ，亦即 时成立. 所以， 的最大值为 . 故答案为 D 4. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意的 满足 且 ，则不等式 的解集为（      ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据题意判断出 在 上单调递增，再由函数 在 上为偶函数，得到 ，将 代入解题即可 . 【详解】 因为对任意的 满足 ，所以 在 上单调递增， 又 是定义在 上的偶函数，且 ，