上海交通大学2002年保送生考试数学试题

上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题 一、填空题 （本题共 64 分，每小题 4 分） 1 ．设方程 x 3 =1 的一个虚数根为 ( n 是正整数 )=__________ ． 2 ．设 a , b 是整数，直线 y = ax + b 和 3 条抛物线： y = x 2 +3, y = x 2 +6 x +7 与 y = x 2 +4 x +5 的交点个数分别是 2 ， 1 ， 0 ，则 ( a , b )=___________ ． 3 ．投掷 3 个骰子，其中点数之积为 9 的倍数的概率为 ___________ ． 4 ．若 x , y , z >0 且 x 2 + y 2 + z 2 =1 ，则 的最小值为 ___________ ． 5 ．若 2 x 2 x =2 ，则 8 x =______________ ． 6 ．若 a , b , c 为正实数，且 3 a =4 b = 6 c ，则 =_____________ ． 7 ． 的值为 _____________ ． 8 ．函数 的值域为 ______________ ． 9 ．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB =4 ， BC =8 ， CD =9 ， DA =7 ，则 cos A =__________ ． 10 ．若 a , b 满足关系： ，则 a 2 + b 2 =____________ ． 11 ． 的展开式中 x 9 的系数是 _____________ ． 12 ．当 时，方程 的相异实根个数共有 _____________ 个 ． 13 ．若不等式 有唯一解，则 a =_______________ ． 14 ．设 a , b , c 表示三角形三边的长，均为整数，且 ，若 b = n （正整数），则可组成这样的三角形 __ ____ 个 ． 15 ．有两个二位数，它们的差是 56 ，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为 _______ ． 16 ．某市 环形 马路上 顺次有 第一小学至第五小学等 5 所小学，各小学分别有电脑 15 ， 7 ， 11 ， 3 ， 14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了 ________ 台，从第二小学向第三小学移交了 ______ 台，从第五小学向第一小学移交了 ________ 台，移动总数是 _________ 台 ． 二、计算与证明题 （本题共 86 分） 17 ．（本题 12 分）（ 1 ）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： (1) ； ( 2 ) 已知当 ， 试用此式与 ( 1 ) 的不等式求 18 ．（本题 14 分）若存在实数 x ，使 f ( x )= x ，则称 x 为 f ( x ) 的不动点，已知函数 有两个关于原点对称的不动点 ( 1 ) 求 a , b 须满足的充要条件； ( 2 ) 试用 y = f ( x ) 和 y = x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） x y 144m 2 x y 144m 2 19 ．（本题 14 分）欲建面积为 144m 2 的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网 50m ， 问筑成 这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并