专题17平面解析几何C辑（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 17 平面解析几何 C 辑 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2020 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 在平面直角坐标系中 , 点 A , B , C 在双曲线 上 , 满足 为等腰直角三角形 . 求 的面积的最小值 . 2 ．【 2020 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 在椭圆 Γ 中 , A 为长轴的一个端点 , B 为短轴的一个端点 , 为两个焦点 . 若 , 求 的值 . 3 ．【 2019 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 与抛物线 恰有一个公共点，且圆 与 x 轴相切于 的焦点 F . 求圆 的半径 . 4 ．【 2019 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 在椭圆中， F 为一个焦点， A 、 B 为两个顶点若 | FA |=3 ， | FB| =2 ，求 AB 的所有可能值 . 5 ．【 2018 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆 的左、右顶点与上、下顶点 . 设 P ， Q 是 上且位于第一象限的两点，满足 OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R . 证明 : 线段 OQ ， OR ， BC 能构成一个直角三角形 . 6 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 ，曲线 . 经过 C 1 上一点 P 作一条倾斜角为 45° 的直线 l ，与 C 2 交于两个不同的点 Q 、 R ，求 的取值范围 . 7 ．【 2015 高中数学联赛（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中， F 1 ， F 2 分别是椭圆 的左、右焦点 . 设不经过焦点 F 1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点 A ， B ，焦点 F 1 到直线 l 的距离为 d . 如果直线 AF 1 ， l ， BF 1 的斜率依次成等差数列，求 d 的取值范围 8 ．【 2014 高中数学联赛（第 01 试）】 平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 2 =4 x 的两条切线，两切点连线 l 与 PO 垂直 . 设直线 l 与直线 PO ， x 轴的交点分别为 Q ， R. (1) 证明 R 是一个定点； (2) 求 的最小值 . 9 ．【 2013 高中数学联赛（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的方程为 ， A 1 ， A 2 分别为椭圆的左、右顶点， F 1 ， F 2 分别为椭圆的左、右焦点， P 为椭圆上不同于 A 1 和 A 2 的任意一点 . 若平面中两个点 Q ， R 满足 ，试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系，并给出证明 . 10 ．【 2012 高中数学联赛（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4 ，且 . (1) 求证： 为定值； (2) 当点 A 在半圆 M ： ( x － 2) 2 + y 2 =4(2≤ x ≤4) 上运动时，求点 C 的轨迹 . 11 ．【 2011 高中数学联赛（第 01 试）】 作斜率为 的直线 l 与椭圆 交于 AB 两点 ( 如图所示 ) ， 且 在直线 l 的左上方 . (1) 证明： △ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2) 若 ∠ APB =60° ，求 △ PAB 的面积 . 12 ．【 2010 高中数学联赛（第 01 试）】 已知抛物线 y 2 =6 x 上的两个动点 和 ，其中 且 . 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 △ ABC 面积的最大值 . 13 ．【 2009 高中数学联赛（第 01 试）】 设直线 l ： y = kx + m ( 其中 k ， m 为整数 ) 与椭圆 交于不同两点 A ， B ，与双曲线 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l 使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条 ? 若不存在，请说明理由 . 14 ．【 2008 高中数学联赛（第 01 试）】 如图， P 是抛物线 y 2 =2 x 上的动点，点 B ， C 在 y 轴上，圆 ( x － 1) 2 + y 2 =1 内切于 △ PBC ，求 △ PBC 面积的最小值 . 15 ．【 2007 高中数学联赛（第 01 试）】 已知过点 (0 ， 1) 的直线 l 与曲线 ( x >0) 交于两个不同点 M 和 N . 求曲线 C 在点 M ， N 处的切线的交点轨迹 . 16 ．【 2006 高中数学联赛（第 01 试）】 给定整数 n ≥2 ，设 是抛物线 y 2 = nx － 1 与直线 y = x 的一个交点 . 试证明对于任意正整数 m ，必存在整数 k ≥2 ，使 为抛物线 y 2 = kx － 1 与直线 y = x 的一个交点 . 17 ．【 2005 高中数学联赛（第 01 试）】 过抛物线 y = x 2 上的一点 A (1 ， 1) 作抛物线的切线，分别交 x 轴于 D ，交 y 轴于 B . 点 C 在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 ；点 F 在线段 BC 上，满足 ，且 ，线段 CD 与 EF 交于点 P . 当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程 . 18 ．【 2004 高中数学联赛（第 01 试）】 在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 ， 点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB ， AC 距离的等比中项 . (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 若直线 l 经过 △ ABC 的内心 ( 设 D ) ，且与点 P 的轨迹恰好有 3 个公共点，求 l 的斜率 k 的取值范围 . 19 ．【 2002 高中数学联赛（第 01 试）】 已知点 A (0 ， 2) 和抛物线 y 2 = x +4 上两点 B ， C 使得 AB ⊥ BC ，求点 C 的纵坐标的取值范围 . 20 ．【 2001 高中数学联赛（第 01 试）】 设曲线 ( a 为正的常数 ) 与 C 2 ： y 2 =2( x + m ) 在 x 轴上方有一个公共点 P . (1) 求实数 m 的取值范围 ( 用 a 表示 ) ； (2) O 为原点，若