上海交通大学2000年保送生数学试题

上海 交通大学 2000 年保送生数学试题 一、选择题 ( 本题共 15 分，每小题 3 分．在每小题给出的 4 个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内 ) 1 ．若今天是星期二，则 3 1998 天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一 2 ．用 13 个字母 A ， A ， A ， C ， E ， H ， I ， I ， M ， M ， N ， T ， T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成 “MATHEMATICIAN” 一词的概率是 ( ) A ． B ． C ． D ． 3 ．方程 cos 2 x sin 2 x +sin x ＝ m +1 有实数解，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． B ． m > 3 C ． m > 1 D ． 4 ．若 一 项数为偶数 2 m 的等比数列的中间两项正好是方程 x 2 + px + q ＝ 0 的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ． p m B ． p 2 m C ． q m D ． q 2 m 5 ．设 f ’ ( x 0 ) ＝ 2 ，则 ( ) A ． 2 B ． 2 C ． 4 D ． 4 二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分） 1 ．设 f ( x ) 的原函数是 ，则 __________ ． 2 ．设 ，则函数 ( 的最小值是 __________ ． 3 ．方程 的解 x ＝ __________ ． 4 ．向量 在向量 上的投影 __________ ． 5 ．函数 的单调增加区间是 __________ ． 6 ．两个等差数列 200 ， 203 ， 206 ， … 和 50 ， 54 ， 58… 都有 100 项，它们共同的项的个数 是 __________ ． 7 ．方程 7 x 2 ( k +13) x + k 2 k 2 ＝ 0 的两根分别在区间 (0,1) 和 (1,2) 内，则 k 的取值范围是 __________ ． 8 ．将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同 的放法的 出现是等可能的，则事件 “ 有 3 个盒子各放一个球 ” 的概率是 ________ ． 三、证明与计算（本题 61 分） 1 ． (6 分 ) 已知正 数列 a 1 ， a 2 ， … ， a n ，且对大于 1 的 n 有 ， ． 试证： a 1 ， a 2 ， … ， a n 中至少有一个小于 1 ． 2 ． (10 分 ) 设 3 次多项式 f ( x ) 满足： f ( x +2) ＝ f ( x ) ， f (0) ＝ 1 ， f (3) ＝ 4 ，试求 f ( x ) ． 3 ． (8 分 ) 求极限 ． 4 ． (10 分 ) 设 在 x ＝ 0 处可导，且原点到 f ( x ) 中直线的距离为 ，原点到 f ( x ) 中曲线部分的最短距离为 3 ，试求 b ， c ， l ， m 的值． ( b , c >0) 5 ． (8 分 ) 证明不等式： ， ． 6 ． (8 分 ) 两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 ．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． O y x B 1 A 2 A