专题27数列A辑（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 27 数列 A 辑 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2020 高中数学联赛 A 卷（第 02 试）】 给定整数 . 设 是 4 n 个非负实数 , 满足 , 且对任意 , 有 ( 这里 ) ， 求 的最小值 . 2 ．【 2020 高中数学联赛 A 卷（第 02 试）】 设 . 证明 : 对整数 必有一个模 4 余 1 的素因子 . 3 ．【 2020 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 给定整数 n ≥2. 设 , 满足 , 且对任意 i , j (1≤ i < j ≤ n ), 均有 . 求 的最小值 . 4 ．【 2019 高中数学联赛 A 卷（第 02 试）】 设整数 满足 . 记 . 求 f 的最小值 f 0 . 并确定使 f = f 0 成立的数组 的个数 . 5 ．【 2018 高中数学联赛 A 卷（第 02 试）】 设 n 是正整数， 均为正实数，满足 ，且 . 证明 : . 6 ．【 2018 高中数学联赛 A 卷（第 02 试）】 数列 { a n } 定义如下 : a 1 是任意正整数，对整数 n ≥1 ， a n +1 是与 互素，且不等于 的最小正整数 . 证明 : 每个正整数均在数列 { a n } 中出现 . 7 ．【 2017 高中数学联赛 A 卷（ 第 02 试）】 设数列 { a n } 定义为 a 1 =1 ， ， . 求满足 的正整数 r 的个数 . 8 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 02 试）】 设 ∈ {1 ， 2 ， … ， 5} ， ∈ {1 ， 2 ， … ， 10} ，集合 ， 求 X 的元素个数的最大值 . 9 ．【 2016 高中数学联赛（第 02 试）】 设实数 满足 ( i =1 ， 2 ， … ， 2015). 求 的最大值 . 10 ．【 2016 高中数学联赛（第 02 试）】 设 p 与 p +2 均是素数， p >3. 数列 { a n } 定义为 a 1 =2 ， ， n =2 ， 3 ， …. 这里 表示不小于实数 x 的最小整数 . 证明 : 对 n =3 ， 4 ， … ， p － 1 均有 成立 . 11 ．【 2015 高中数学联赛（第 02 试）】 设 为实数，证明：可以选取 ，使得 ① 12 ．【 2013 高中数学联赛（第 02 试）】 给定正整数 u ， v . 数列 { a n } 定义如下： a 1 = u + v ，对整数 m ≥1 ，有 ， 记 . 证明：数列 { S n } 中有无穷多项是完全平方数 . 13 ．【 2012 高中数学联赛 （第 02 试）】 设 是正整数 . 证明：对满足 0≤ a < b ≤1 的任意实数 a ， b ，数列 中有无穷多项属于 ( a ， b ). 这里， [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数 . 14 ．【 2011 高中数学联赛（第 02 试）】 设 是给定的正实数， . 对任意正实数 r ，满足 r (1≤ i < j < k ≤ n ) 的三元数组 ( i ， j ， k ) 的个数记为 f n ( r ). 证明： . 优质模拟题 强化训练 1 ． 对于函数 ，若 ，则称 为 的不动点。已知函数 ， ，且在其定义域内有唯一的不动点。 （ 1 ） 求 表达式； （ 2 ） 若数列 满足 ，求 。 2 ． 已知实数数列 满足 , . 其中 , 表示不超过实数 的最大整数 . 求 . 3 ． 给定正数 ， 若存在一个无穷正数数列 满足 ： . 证明 ： . 4 ． 对于正整数 ，若存在 1 ， 2 ， … ， 的一个排列 满足 （ ），则称 为 “ 循球数 ”. 证明： （ 1 ） 9 、 11 都是循环数； （ 2 ） 为循环数的一个必要不充分条件是 为质数 . 5 ．已知数列 满足 ， ， . （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）令 ， 为数列 的前 项和，证明： . 6 ． 已知数列 满足 ，且 ．设 （ 表示不超过实数 的最大整数）， ，试求 的最小值． 7 ． 设 是给定的大于 1 的正整数．对任意 ，当 时，试求 的最大值． 8 ．已知 是非负整数组成的数列 , 满足 , 且 . 若 是数列 的前 项和 , 求证 : , 并指出等号成立的条件 . 9 ．设 ， . 证明 : . 10 ． 已知数列 满足 ， . 求证： . 11 ． 设 为非负实数 , 满足 : (1) ; (2) . 求 的最大值和最小值 . 12 ． 对任意给定的正整数 ，数列 满足 ，且 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）记 ， 求证：从 中任取 个互不相同的数时，总存在取出的两个数 、 ，使 ． 13 ． 设 、 、 成等差数列， ； 、 、 成等比数列， . 若 、 <math display='block' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo><msub> <mi>b</mi><math display='block' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo><msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </math> < mn>2</mn> </msub> </mrow> </math> 、 是正整数且成等比数列，求 的最大值 . 14 ． 已知各项均不小于 1 的数列 满足： ， ， ， 试求：（ 1 ）数列 的通项公式； （ 2 ） 的值 . 15 ． 已知 ．数列 满足 ，且 ， （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 证明：对一切正整数 均有 ． 16 ． 设函数 满足： （ 1 ）对于任意的 都有 ； （ 2 ）对任意的 ，都有 . 令 . 证明： . 17 ． 已知 、 、 为实数，对大于 1 的整数 都有 ． （ 1 ） 若 、 、 成等差数列，求证： 、 、 也成等差数列； （ 2 ） 若 、 、 成等差数列，找一个反例，使 、 、 不成等差数列； （ 3 ）对 ，若 、 、 成等差数列，且公差不为 0 ，问： 、 、 是否成等差数列？证明你的结论． 1