专题13不等式B辑（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 13 不等式 B 辑 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2020 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 设正实数 a , b , c 满足 , 求 的最小值 . 2 ．【 2017 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 设 k 、 m 为实数，不等式 对所有 x ∈ [ a ， b ] 成立 . 证明 : . 3 ．【 2017 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 设 是非负实数，满足 ，求 的最小值和最大值 . 4 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 设不等式 对所有 x ∈ [1 ， 2] 成立，求实数 a 的取值范围 . 5 ．【 2015 高中数学联赛（第 01 试）】 若实数 a ， b ， c 满足 ，求 c 的最小值 . 6 ．【 2013 高中数学联赛（第 01 试）】 给定正数数列 { x n } 满足 ，这里 . 证明：存在常数 C >0 ，使得 . 7 ．【 2009 高中数学联赛（第 01 试）】 求函数 的最大值和最小值 . 8 ．【 2008 高中数学联赛（第 01 试）】 解不等式 . 9 ．【 2003 高中数学联赛（第 01 试）】 设 ，证明不等式 . 10 ．【 2000 高中数学联赛（第 01 试）】 设 S n =1+2+3+… + n ， n ∈ N ，求 f ( n )= 的最大值 . 11 ．【 1992 高中数学联赛（第 01 试）】 求证： . 12 ．【 1991 高中数学联赛（第 01 试）】 已知 0< a <1 ， x 2 + y =0 ，求证： . 13 ．【 1988 高中数学联赛（第 01 试）】 已知 a ， b 为正数，且 ，试证：对每一个 n ∈ . 优质模拟题 强化训练 1 ． 设 是正实数 , 满足 . 则 的最大值是 ______ . 2 ． 已知 xyz + y + z =12 ，则 的最大值为 ____________ . 3 ．已知 x >0 ， y >0 ，且 ，则 x +2 y 的最小值为 ____________ . 4 ．设 ，且 . 则 的最小值是 ______ . 5 ．设 、 为正实数 , 且 x+y=1. 则 的最小值为 ______ . 6 ．在 中， ，则 的最小值为 ______ . 7 ．实数 x 、 y 满足 ，则 的最大值是 ____________ 8 ． 设 ，则 的最小值为 _____ . 9 ．设 、 为正实数，且 ， . 则 ______ . 10 ． 已知 ，则 xy+yz+zx 的最小值为 ________ 11 ．若对任意的 ，均有 ，则实数 的取值范围是 __________ 。 12 ． 若实数 x 、 y 、 z 满足 ， ，则 _____ . 13 ． 若正实数 满足 ，则 的最小值是 ______ ． 14 ．设正实数 满足 ，则 的最小值为 ______ . 15 ． 设函数 ，则不等式 的解集为 ________ . 16 ．若 ，则 的最小值为 ______ ． 17 ． 设实数 a 满足 . 则 a 的取值范围是 ________ . 18 ． 设 为 的重心，若 ，则 的最大值为 ______ . 19 ． 若直线 ax － by +2=0( a >0 ， b >0) 和函数 的图象均恒过同一个定点，则 的最小值为 ________ . 20 ．已知 x ， y ∈ [0 ， +∞) ，则 x 3 + y 3 － 5 xy 的最小值为 ________ . 高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 13 不等式 B 辑 历年联赛 真题 汇编 1 ．【 2020 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 设正实数 a , b , c 满足 , 求 的最小值 . 【答案】 6 【解析】 由题设条件得 , 由柯西不等式可得： , 即 , 故 . 又由柯西不等式得 , 所以 , 当 a = b = c =1 时等号成立 . 故 的最小值是 6. 2 ．【 2017 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 设 k 、 m 为实数，不等式 对所有 x ∈ [ a ， b ] 成立 . 证明 : . 【答案】证明见解析 【解析】 令 f ( x )= x 2 － kx － m ， x ∈ [ a ， b ] 则 f ( x ) ∈ [ － 1 ， 1]. 于是 ① ② ③ 由 ① + ② － 2× ③ 知， ， 故 . 3 ．【 2017 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）】 设 是非负实数，满足 ，求 的最小值和最大值 . 【答案】 最小值为 1 ； 最大值为 . 【解析】 由柯西不等式 ， 当 时不等式等号成立，故欲求的最小值为 1. 因为 . 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 . 4 ．【 2017 高中数学联赛 B 卷（第 01 试）】 设不等式 对所有 x ∈ [1 ， 2] 成立，求实数 a 的取值范围 . 【答案】 3< a <5. 【解析】 设 ，则 t ∈ [2 ， 4] ，于是 对所有 t ∈ [2 ， 4] 成立 . 由于 . 对给定实数 a ，设 f ( t )=(2 t － a － 5)(5 － a ) ，则 f ( t ) 是关于 t 的一次函数或常值函数 . 注意 t ∈ [2 ， 4] ，因此 f ( t )<0 等价于 ， 解得 3< a <5. 所以实数 a 的取值范围是 3< a <5. 5 ．【 2015 高中数学联赛（第 01 试）】 若实数 a ， b ， c 满足 ，求 c 的最小值 . 【答案】 【解析】 将 分别记为 x ， y ， z ，则 x ， y ， z >0. 由条件知 ， 故 . 因此，结合平均值不等式可得 . 当 ， 即 时， z 的最小值为 ( 此时相应的 x 值为 ，符合要求 ). 由于 c = log 2 z ，故 c 的最小值为 . 6 ．【 2013 高中数学联赛（第 01 试）】 给定正数数列 { x n } 满足 ，这里 . 证明：存在常数 C >0 ，使得 . 【答案】证明见解析 【解析】 当 n ≥2 时 ， 等价于 ① 对常数 ，用数学归纳法证明 ② n =1 时结论显然成立 . 又 ， 对 n ≥3 ，假设 ， 则由式 ① 知 . 所以，由数学归纳法知，式 ② 成立 . 7 ．【 2009 高中数学联赛（第 01 试）】 求函数 的最大值和最小值 . 【答案】 y 的最小值为 ； 最大值为 11.