上海交通大学2001年联读班数学试题

2001 年上海交通大学联读班数学试题 一、填空题（本题共 40 分，每小题 4 分） 1 ．数 的位数是 ________________ ． 2 ．若 log 2 [log 3 (log 4 x )] ＝ log 3 [log 4 (log 2 y )] ＝ log 4 [log 2 (log 3 z )] ＝ 0 ，则 x + y + z ＝ _________ ． 3 ．若 log 2 3 ＝ p ， log 3 5 ＝ q ，则用 p 和 q 表示 log 10 5 为 ________________ ． 4 ．设 sin 和 sin 分别是 sin 与 cos 的 算术 平均和几何平均，则 cos2 :cos2 ＝ __ _____ _____ ． 5 ．设 ，则函数 f ( x ) ＝ cos x + x sin x 的最小值为 ________________ ． 6 ．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多 2 个小球，则这盒小球的个数为 ____________ ． 7 ．若在数列 1 ， 3 ， 2 ， … 中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前 100 项之和是 _______________ ． 8 ．在 (1+2 x x 2 ) 4 的二项展开式中 x 7 的系数是 _______________ ． 9 ．某编辑在校阅教材时，发现这句： “ 从 60° 角的顶点开始，在一边截取 9 厘米的线段，在另一边截取 a 厘米的线段，求两个端点间的距离 ” ，其中 a 厘米在 排版时比原稿上多 1 ．虽然如此，答案却不必改动，即题目 与答案 仍相符合，则排错的 a ＝ ________________ ． 10 ．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为 1 的等差数列的概率为 _________________ ． 二、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 11 ． a >0 ， b >0 ， 若 ( a +1)( b +1) ＝ 2 ，则 arctan a +arctan b ＝ ( ) A ． B ． C ． D ． 12 ．一个人向正东方向走 x 公里，他向左转 150° 后朝新方向走了 3 公里，结果他离出发点 公里，则 x 是 ( ) A ． B ． C ． 3 D ．不能确定 13 ． ( ) A ． B ． C ． D ． 14 ．设 [ t ] 表示 ≤ t 的最大整数，其中 t ≥0 且 S ＝ {( x , y )|( x T ) 2 + y 2 ≤ T 2 , T ＝ t [ t ]} ，则 ( ) A ．对于任何 t ，点 (0,0) 不属于 S B ． S 的面积介于 0 和 之间 C ．对于所有的 t ≥5 ， S 被包含在第一象限 D ．对于任何 t ， S 的圆心在直线 y ＝ x 上 15 ．若一个圆盘被 2 n ( n >0) 条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交 迭区域 的最大个数是 ( ) A ． 2 n +2 B ． 3 n 1 C ． 3 n D ． 3 n +1 16 ．若 i 2 ＝ 1 ，则 cos45°+ i cos135°+…+ i n co