1
202 3 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2023 年 全国高中数学联合竞赛
加试（ A 卷）参考答案及评分标准
说明：
1
．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2
．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分， 10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一． （本题满分 40 分） 如图， _ AB j-$?,?
*?,? z
6W? _4?E?
&?
A ? :
0Z?&? T ,??
6?D ,?
6?}? ABT ??A? P _ ,?W TB
?=
[1 &?? :,?\b?&?? ,
CD _ :,?TZ?&?? %C?? C
X4?!? AP :? ,
CD
}?-$4? AB ,?2??D CD AB ?A? CDP ,?F?j K ?A? >?
(1) 点
K
X TDP ,?F?
6:?
(2)
K 为定点．
Ω
ω
P
D
A B
T C
证明 ： (1) 易知 PCD jJ?@?+a K j CDP ,?F?.
2(180 ) 2 PKD PCD ACD ．
由于
90
APB
? CD AB ?u PBA ACD ATD
? ……………10 分
所以
2 180
PTD PKD PTA ATD ACD PTA PBA
?
又
,KT }? PD 2??
!?&? K
X TDP ,?F?
6:? ……………20 分
(2) 取
,?
6? O ?E?&? O ? AB ,??>|4? l?\bI lj CD ,?]
?4??&? K
X
-$4?
l:? ……………30 分
由
, ,,T DPK ?
6 ? KD KP ?
. K
X DTP ,??64?:?6<
90 90 DTB ATD PBA PAB PTB ，
故
TB j DTP ,??64??p&? K
X-$4? TB :?
显然
l> TB -(??D l> TB
wj?-$4??u K j?&?? ……………40 分
ω
Ω
l
D
P
O K
B A
T C
2
二． （本题满分 40 分） 正整数 n称为“好数”，如果对任意不同于 n的正整
数
m ，均有 22
22nm
nm
，这里， x 表示实数 x的小数部\b6?
证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．
A? > ：引理：设 n是正奇数，且 2模 n的阶为偶数，\bI n是好数．
引理的证明：反证法 ．假设
n不是好数，\bI?
X2? n的正整数 m ，使得
22
22nm
nm
．因此 2
2n
n 与 2
2m
m 写成既约\b6?
>,?\b6母相同． 由 n为奇数知 2
2n
n 是既
约\b6??u
2m 的最大奇因子为 2n ，从而 m 的最大奇因子为 n．
设
2t mn ，其中 t为正整数（从而 m 是偶数） ．于是
2
22
22m mt
mn
．
由
2
22
22mt n
nn
可得 22 2 2 (mod )mt n n ，故
2 2 2 (mod )mt n n ． （*）
设
2模 n的阶为偶数 d． 由（ *） 及阶的基本性质 得 2 (mod ) m tn d ，故
2 m tn 是偶数．但 2 mt 是偶数， n是奇数，矛盾．引理得证．
……………20分
回到原问题．
设
22 1 ( 1, 2 , )k
kFk ．由于 1221k
kF ，而 kF 221k ，因此 2模 kF 的阶
为
1 2k ，是一个偶数．
对正整数
l，由 2 2 1 (mod )l kF 可知 2 1 (mod )l k F
，故 由阶的性质推出， 2模
2
kF 的阶被 2模 kF 的阶整除， 从而也是偶数． 因 2
kF 是奇数，由引理知 2kF 是好数．
……………30 分
对任意正整数
,( )i ji j ， 2 11 (, ) (,(2 1) 2) (,2) 1 i
i j iii jiF F F FF F F ，
故
123,,,FF F 两两互素．所以 222
1 23,,,
FFF 是两两互素的合数，且均为好数．
……………40 分
三． （本题满分 50 分） 求具有下述性质的最小正整数 k：若 将 1, 2 , , k 中
的 每个数 任意染为红色或者蓝色，则或者存在
9个互不相同的红色的 数
12 9,, ,xx x 满足 12 8 9xx x x ，或者存在 10 个互不相同的蓝色的 数
1 2 10,,,yy y 满足 1 29 10yy y y ．
@ ：所求的最小正整数为 408 ．
一方面，若
407 k 时，将 1, 55, 56, , 407 染为红色， 2,3, ,54 染为蓝色，
此时最小的
8个红数之和为 1 55 56 61 407 ，最小的 9个蓝数之和为
2 3 10 54 ，故不存在满足要求的 9个红数或者 10 个蓝数．
对
407
k ，可在上述例子中删去大于 k的数，\bI?\b`不符合要求的例子\
．
因此
407
k 不满足要求． ……………10 分
另一方面，我们证明
408 k 具有题述性质．
反证法．假设存在一种
1, 2, , 408 的染色方法不满足要求， 设 R是所有红数的集
3
合， B是所有蓝数的集合． 将 R中的元素从小\b`W?!QA?j 12,, , m rr r ， B中的
元素从小\b`W?!QA?j
12,, , n bb b ， 408 mn ．对于 R ，或者 8 R ，或者
12 8 m rr r r ；对于 B，或者 9
B ，或者 12 9 n bb b b ．
在
1, 2 , , 1 6 中至少有 9个蓝色
2023年全国高中数学联合竞赛（加式-A）试题（标准解析版）
