专题05三角函数与解三角形A辑（高中联赛真题分类专题）-十年（1981-2020）高中数学联赛之历年真题汇编专辑（详解版）

高中数学联赛之历年真题汇编（ 1981-2020 ） 专题 05 三角函数与解三角形 A 辑 历年 联赛 真题 汇编 1 ．【 2008 高中数学联赛（第 01 试）】 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边 a ， b ， c 成等比数列， 则 的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ． 2 ．【 2007 高中数学联赛（第 01 试）】 设函数 f ( x )=3 sinx +2 cosx +1. 若实数 a ， b ， c 使得 af ( x )+ bf ( x － c )=1 对任意实数 x 恒成立，则 的值等于 ( ) A ． B ． C ． D ． 3 ．【 2006 高中数学联赛（第 01 试）】 已知 △ ABC ，若对任意 t ∈ R ， ，则 △ ABC 一定为 ( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．答案不确定 4 ．【 2005 高中数学联赛（第 01 试）】 △ ABC 内接于单位圆，三个内角 A ， B ， C 的平分线延长后分别交此圆于 A 1 ， B 1 ， C 1 . 则 的值为 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 5 ．【 2004 高中数学联赛（第 01 试）】 设锐角使关于 x 的方程 有重根，则 θ 的弧度数为 ( ) A ． B ． 或 C ． 或 D ． 6 ．【 2003 高中数学联赛（第 01 试）】 若 ，则 的最大值是 ( ) A ． B ． C ． D ． 7 ．【 2001 高中数学联赛（第 01 试）】 在四个函数 ， ， ， 中以 为周期，在 上单调递增的偶函数是 ( ) A ． B ． C ． D ． 8 ．【 2001 高中数学联赛（第 01 试）】 如果满足 ∠ ABC =60° ， AC =12 ， BC = k 的 △ ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． k ≥12 D ． 0< k ≤12 或 k =8 9 ．【 2000 高中数学联赛（第 01 试）】 设 ，且 ，则 的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ． 10 ．【 1999 高中数学联赛（第 01 试）】 已知点 A (1 ， 2) ，过点 (5 ，－ 2) 的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B ， C ，那么， △ ABC 是 ( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．答案不确定 11 ．【 1997 高中数学联赛（第 01 试）】 设 ， ， ， ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 12 ．【 1996 高中数学联赛（第 01 试）】 设 ，以下三个数： ， ， 的大小关系是 ( ) A ． B ． C ． D ． 13 ．【 1995 高中数学联赛（第 01 试）】 的 大小关系是 ( ) A ． B ． C ． D ． 14 ．【 1994 高中数学联赛（第 01 试）】 设 a ， b ， c 是实数 . 那么对任何实数 x ，不等式 都成立的充要条件是 ( ) A ． a ， b 同时为 0 ， 且 c >0 B ． C ． D ． 15 ．【 1994 高中数学联赛（第 01 试）】 已知 0< b <1 ， ，则下列三数： ， 的大小关系是 ( ) A ． B ． C ． D ． 16 ．【 1993 高中数学联赛（第 01 试）】 在 △ ABC 中， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边边长分别是 a ， b ， c ，若 c － a 等于 AC 边上的高 h ，则 的值是 ( ) A ． 1 B ． C ． D ． 17 ．【 1992 高中数学联赛（第 01 试）】 在 △ ABC 中， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边分别记为 a ， b ， c ( b ≠1) ，且 都是方程 的根，则 △ ABC ( ). A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 18 ．【 1990 高中数学联赛（第 01 试）】 设 ，则 ， 的大小顺序是 ( ) A ． B ． C ． D ． 19 ．【 1989 高中数学联赛（第 01 试）】 若 A ， B 是锐角 △ ABC 的两个内角，则复数 在复平面内所对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 20 ．【 1989 高中数学联赛（第 01 试）】 函数 的值域是 ( ). A ． B ． C ． D ． 21 ．【 1987 高中数学联赛（第 01 试）】 边长为 5 的菱形，它的一条对角线的长不大于 6 ，另一条不小于 6 ，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是 ( ) A ． B ． 14 C ． D ． 12 22 ．【 1987 高中数学联赛（第 01 试）】 如图， △ ABC 的顶点 B 在单位圆的圆心上， A ， C 在圆周上， ∠ ABC =2 a (0< a < ). 现将 △ ABC 在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以 A 为中心，使 B 落在圆周 上；第二次，以 B 为中心，使 C 落到圆周上；第三次，以 C 为中心，使 A 落到圆周上，如此旋转直到第 100 次 . 那么，点 A 所走路程的总长度为 ( ) A ． B ． C ． D ． 23 ．【 1986 高中数学联赛（第 01 试）】 设－ 1< a <0 ， ，那么不等式 sinx < a 的解集为 ( ) A ． B ． C ． D ． 24 ．【 1985 高中数学联赛（第 01 试）】 已知方程 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 这样的 x 不存在 25 ．【 1984 高中数学联赛（第 01 试）】 若动点 P ( x ， y ) 以等角速度 ω 在单位圆上逆时针运动，则 点 Q ( － 2 xy ， y 2 － x 2 ) 的运动方式是 ( ) A ．以角速度 在单位圆上顺时针运动 B ．以角速度 在单位圆上逆时针运动 C ．以角速度 在单位圆上顺时针运动 D ．以角速度 在单位圆上逆时针运动 26 ．【 1983 高中数学联赛（第 01 试）】 已知等腰 △ ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数