2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 4.3.2第2课时　等比数列习题课 学案

4.3.2 第 2 课时　等比数列习题课 素养目 标·定方向 学习目标 核心素养 进一步理解等比数列中 a n 与 S n 的关系 逻辑推理　数学抽象 掌握几种与等比数列有关的求和方法 逻辑推理　数学运算 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 等比数列 a n 与 S n 的关系 典例 1 　 (1) 已知正项等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 ＝ 1 ，且－ a 3 ， a 2 ， a 4 成等差数列，则 S n 与 a n 的关系是 ( 　 A 　 ) A ． S n ＝ 2 a n － 1 　　 B ． S n ＝ 2 a n ＋ 1 C ． S n ＝ 4 a n － 3 　　 D ． S n ＝ 4 a n － 1 (2) 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，对任意正整数 n ， a n ＋ 1 ＝ 3 S n ，则下列关于 { a n } 的论断中正确的是 ( 　 B 　 ) A ．一定是等差数列 B ．可能是等差数列，但不会是等比数列 C ．一定是等比数列 D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 [ 解析 ] 　 (1) 设 等比数列的公比为 q ( q >0) ， 由 a 1 ＝ 1 ，且－ a 3 ， a 2 ， a 4 成等差数列， 得 2 a 2 ＝ a 4 － a 3 ，即 2 q ＝ q 3 － q 2 ，得 q ＝ 2. 所以 S n ＝ ，则 S n ＝ 2 a n － 1. (2) a n ＋ 1 ＝ 3 S n ， a n ＝ 3 S n － 1 ，故 a n ＋ 1 － a n ＝ 3 a n ，即 a n ＋ 1 ＝ 4 a n ( n ≥ 2) ，而 n ＝ 1 时， a 2 ＝ 3 S 1 ＝ 3 a 1 ，可知该数列不是等比数列．当 a n ＝ 0 时，数列 a n 为等差数列．故本题正确答案为 B ． [ 规律方法 ] 　 关于等比数列 S n 与 a n 的关系 (1) S n 与 a n 的关系可以由 S n ＝ 得到，一般已知 a 1 ， q 即可得到二者之间的关系，也可以通过特殊项验证判断． (2) S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 是 S n 与 a n 之间的内在联系，既可以推出项 a n － 1 ， a n ， a n ＋ 1 之间的关系， 也可得到 S n － 1 ， S n ， S n ＋ 1 之间的关系，体现了 S n 与 a n 关系的本质． 【对点训练】 ❶ (1) 等比数列 { a n } ，若已知 a n ＝ 3 n － 1 ，则 S n 与 a n 的关系是 __ S n ＝ a n － __ ； (2) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和．若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ __ － 63 __ ． [ 解析 ] 　 (1) S n ＝ ＝ a n － . (2) 依题意， 作差得 a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， 所以数列 { a n } 是公比为 2 的等比数列， 又因为 a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ， 所以 a 1 ＝－ 1 ，所以 a n ＝－ 2 n － 1 ， 所以 S 6 ＝ ＝－ 63. 题型二 分组转化求和 典例 2 　 已知数列 1 ， 1 ＋ 2 ， 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ， … ， 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ， … . (1) 求其通项公式 a n ； (2) 求这个数列的前 n 项和 S n . [ 分析 ] 　 注意观察数列的每一项可以发现，数列的第 1 ， 2 ， … n 项依次为等比数列 { a n } 的前 n 项和，其中 a n ＝ 2 n － 1 . 求该数列各项的和可先求通项 a n ，再依 a n 的特征选择求和方法． [ 解析 ] 　 (1) a n ＝ 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ ＝ 2 n － 1. ∴ 这个数列的通项公式为 a n ＝ 2 n － 1. (2) S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a n ＝ (2 1 － 1) ＋ (2 2 － 1) ＋ (2 3 － 1) ＋ … ＋ (2 n － 1) ＝ (2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ) － n ＝ － n ＝ 2 n ＋ 1 － n － 2. [ 规律方法 ] 　 分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解． 【对点训练】 ❷ 各项均为正数的等比数列 { a n } ， a 1 ＝ 1 ， a 2 a 4 ＝ 16 ，数列 { b n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ ( n ∈ N ＋ ) ． (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； (2) 若 c n ＝ a n ＋ b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . [ 解析 ] 　 (1) 设公比为 q ， ∵ a 1 ＝ 1 ， a 2 a 4 ＝ 16 ， ∴ q 4 ＝ 16 ， ∵ q ＞ 0 ， ∴ q ＝ 2. ∴ a n ＝ 2 n － 1 . ∵ S n ＝ ， ∴ 当 n ≥ 2 时， b n ＝ S n － S n － 1 ＝ － ＝ 3 n － 1. 当 n ＝ 1 时， b 1 ＝ S 1 ＝ 2 满足上式， ∴ b n ＝ 3 n － 1. (2) c n ＝ a n ＋ b n ＝ 2 n － 1 ＋ 3 n － 1. ∴ T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ … ＋ c n ＝ (2 0 ＋ 2 1 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) ＋ [2 ＋ 5 ＋ … ＋ ( 3 n － 1)] ＝ ＋ ＝ 2 n － 1 ＋ . 题型三 错位相减法求和 典例 3 　 设 { a n } 是公比不为 1 的等比数列， a 1 为 a 2 ， a 3 的等差中项． (1) 求 { a n } 的公比； (2) 若 a 1 ＝ 1 ，求数列 { na n } 的前 n 项和． [ 解析 ] 　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设得 2 a 1 ＝ a 2 ＋ a 3 ， 即 2 a 1 ＝ a 1 q ＋ a 1 q 2 . 所以 q 2 ＋ q － 2 ＝ 0 ，解得 q ＝ 1( 舍去 ) 或 q ＝－ 2. 故 { a n } 的公比为－ 2. (2) 记 S n 为数列 { na n } 的前 n 项和．由 (1) 及题设可得 a n ＝ ( － 2) n － 1 ，所以 S n ＝ 1 ＋ 2 × ( － 2) ＋ … ＋ n ·( － 2) n － 1 ， － 2 S n ＝－ 2 ＋ 2 × ( － 2) 2 ＋ … ＋ ( n － 1)·( － 2) n － 1 ＋ n ·( － 2) n . 所以 3 S n ＝ 1 ＋ ( － 2) ＋ ( － 2) 2 ＋ … ＋ ( － 2) n