北京市
2022-2023
学年上学期高一期末数学试题汇编
18
任意角和弧度制、同角三角函数的基本关系
一、单选题
1
．（
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末）若角
的终边与单位圆交于点
，则下列三角函数值恒为正的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．（
2023
秋
·
北京大兴
·
高一统考期末）已知
，则
等于（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．（
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末）已知三角形
是边长为
的等边三角形．如图，将三角形
的顶点
与原点重合．
在
轴上，然后将三角形沿着
轴顺时针滚动，每当顶点
再次回落到
轴上时，将相邻两个
之间的距离称为
“
一个周期
”
，给出以下四个结论：
①
一个周期是
；
②
完成一个周期，顶点
的轨迹是一个半圆；
③
完成一个周期，顶点
的轨迹长度是
；
④
完成一个周期，顶点
的轨迹与
轴围成的面积是
．
其中说法正确的是（
）
A
．
①②
B
．
①③④
C
．
②③④
D
．
①③
4
．（
2023
秋
·
北京朝阳
·
高一统考期末）设集合
，集合
，则
A
与
B
的关系为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．（
2023
秋
·
北京朝阳
·
高一统考期末）若角
满足
，则角
是（
）
A
．第一象限角
B
．第二象限角
C
．第三象限角
D
．第四象限角
6
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）设
，则下列结论错误的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．（
2023
秋
·
北京顺义
·
高一统考期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成
.
设制作扇子的扇形面积为
，圆面中剩下部分的面积为
，当
时，扇面看上去形状较为美观
.
那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题
8
．（
2023
秋
·
北京东城
·
高一统考期末）若
，
，则
．
9
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）半径为
1
，圆心角为
1
弧度的扇形的面积为
．
三、解答题
10
．（
2023
秋
·
北京平谷
·
高一统考期末）已知
，
(1)
求
，
；
(2)
求
的值
.
11
．（
2023
秋
·
北京
·
高一北京师大附中校考期末）（
1
）已知
都是锐角，
，
，求
；
（
2
）求
；
（
3
）若
，求
.
12
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）某一扇形铁皮，半径长为
1
，圆心角为
．工人师傅想从中剪下一个矩形
，如图所示．
(1)
若矩形
为正方形，求正方形
的面积；
(2)
求矩形
面积的最大值．
13
．（
2023
秋
·
北京通州
·
高一统考期末）已知
是第四象限角．
(1)
求
的值；
(2)
求
的值．
14
．（
2023
秋
·
北京大兴
·
高一统考期末）已知
．
(1)
求
的值；
(2)
求
的值．
参考答案：
1
．
A
【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案
.
【详解】由题意得：
，
，
A
选项，
，
B
选项，
可能正，可能负，不确定；
C
选项，
可能正，可能负，不确定；
D
选项，
，错误
.
故选：
A
2
．
A
【分析】由题知
，再根据诱导公式求解即可
.
【详解】解：因为
，
所以
，
所以
故选：
A
3
．
D
【分析】依题意将
沿着
轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点
轨迹，由题目中
“
一个周期
”
的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可
.
【详解】
如上图，
沿着
轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：
第一步，
绕点
顺时针旋转至线段
落到
轴上
位置，得到
，此时顶点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的一段圆弧，即顶点
由原点
沿
运动至
位置；
第二步，
绕点
顺时针旋转至线段
落到
轴上
位置，得到
，此时顶点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的一段圆弧，即顶点
由
沿
运动至
位置，落到
轴，完成一个周期
.
对于
①
，
∵
，
∴
一个周期
，故
①
正确；
对于
②
，如图所示，完成一个周期，顶点
的轨迹是
和
组成的曲线，不是半圆，故
②
错误；
对于
③
，由已知，
，
∴
，
∴
的弧长
，
的弧长
，
∴
完成一个周期，顶点
的轨迹长度为
，故
③
正确；
对于
④
，如图，完成一个周期，顶点
的轨迹与
轴围成的图形为扇形
，扇形
与
的面积和，
∵
，
∴
，
∵
等边
边长为
，
∴
，
∴
完成一个周期，顶点
的轨迹与
轴围成的面积是
，故
④
错误
.
∴
正确的说法为：
①③.
故选：
D.
【点睛】方法点睛：分步解决点
轨迹，第一步是
绕点
滚动得到
，第二步是
绕点
滚动得到
，再将两步得到的点
轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确
.
4
．
A
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案
.
【详解】由于集合
，所以集合
表示终边落在
轴上的角的集合；
由于集合
，所以集合
表示终边落在
轴上的角的集合；
所以
.
故选：
A
5
．
B
【分析】根据三角函数四个象限符号确定
.
【详解】
为第二，三象限角或者
轴负半轴上的角；
又
为第二，四象限角
所以
为第二象限角
.
故选：
B
6
．
D
【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解
.
【详解】因为
表示终边落在
轴上角的集合，
表示终边落在
轴正半轴上角的集合，
表示终边落在
轴负半轴上角的集合，
所以
，
，
正确；
，
北京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题汇编-18任意角和弧度制、同角三角函数的基本关系
