2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册导数的概念.导数的几何意义 课件

课标阐释1.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法.(数学抽象,数学运算)2.理解导数的几何意义.(几何直观)3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(几何直观,数学运算) 思维脉络导数的概念及其几何意义 课前篇 自主预习 激趣诱思跳水运动员的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米三种,奥运会、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立六组.比赛时,男子要完成 4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,女子要完成4 个有难度系数限制的自选动作和4个无难度系数限制的自选动作.每个动作的最高得分为 10分,以全部动作完成后的得分总和评定成绩. 如右图,若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,根据图象,请描述比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况. 知识梳理一、导数的概念1.设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 2.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作 平均变化率的极限 名师点析对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关. 微判断(1)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0处的函数值.(　　)(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.(　　)(3)函数在点x0处的导数f'(x0)是一个常数.(　　)√ √ √ 微练习利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值. 二、导数的几何意义1.割线:设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线. 2.切线:如图(2),设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0). 名师点析1.直线倾斜角θ 与其斜率k之间的关系是k=tan θ.2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率. 微思考(1)如何求曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示 (1)根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点. (3)不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示. 微判断(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.(　　)(2)直线与曲线相切,则直线与已知的曲线只有一个公共点.(　　)√ × 微练习若函数f(x)在x=3处的导数f'(3)= ,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线的倾斜角θ=　　　　. 答案 60° 解析 因为斜率k=f'(3)= ,即tan θ= ,所以倾斜角θ=60°. 课堂篇 探究学习 探究一导数的概念角度1　求函数在某点处的导数例1求函数y=f(x)=x+ 在x=1处的导数. 变式训练1y=f(x)=x2在x=1处的导数为(　　)A.2x B.2 C.2+Δx D.1答案 B 解析 当x从1变到1+Δx时,函数值从1变到(1+Δx)2,函数值y关于x的平均变化率为 =Δx+2.当x趋于1,即Δx趋于0时,平均变化率趋于2,所以f'(1)=2. 角度2　对导数定义式的理解和应用 A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0) 答案 C 反思感悟导数定义式的变形应用在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则 答案 C 探究二导数几何意义的应用角度1　曲线在某点处的切线方程 反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤 变式训练3曲线y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是　　　　.  答案 -3 令Δx趋于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2处的导数为f'(2)=4.于是,函数y=f(x)=x2+1在点(2,5)处的切线斜率为4,因此函数y=f(x)=x2+1在点P(2,5)