2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案2-1等式性质与不等式性质

2 ． 1 等式性质与不等式性质 （单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （ 1 ） 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． （ 2 ）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 【过程与方法目标】 （ 1 ）能通过类比等式基本性质猜想不等式的基本性质并能证明；能通过比较分析，说出不等式基本性质与等式基本性质的共性与差异． （ 2 ）能从不等式的基本性质出发，通过变形、运算等方式推导出一些常用的不等式性质，并能利用这些性质证明简单的不等式． 【情感态度价值观目标】 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质． 二、【单元知识结构框架】 三、 【学情分析】 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义．同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫． 四、【教学设计思路 / 过程】 课时安排：约 2 课时 教学重点： 两个实数大小关系的基本事实的理解和运用， 掌握不等式性质及其应用 教学难点： 从不等关系中抽象出不等式与 不等式性质的应用 教学方法 / 过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景 1 ：中国 “ 神舟七号 ” 宇宙飞船飞天取得了圆满的成功．我们知道，它的飞行速度（ ）不小于第一宇宙速度（记作 ），且小于第二宇宙速度（记作 ）． 问题 1 ： 你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？ （ 1 ）某路段限速 40 km / h ；（ 2 ）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2 ． 5 ％，蛋白质的含量 p 应不少于 ；（ 3 ）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（ 4 ）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【破解方法】 不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受 “ 不等式和不等式组 ” 来简化表达． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1 ．比较大小常用方法 问题 2 ： 如何比较两个实数的大小关系？你能比较 与 的大小关系吗？ 【破解方法】 （ 1 ）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；（ 2 ）总结：实数大小的基本事实 ． 【归纳新知】 如果 是正数，那么 ；如果 等于 0 ，那么 ；如果 是负数，那么 ．反过来也对．比较大小常用方法：作差比较法 比较两个实数（代数式）大小的步骤 （ 1 ）作差：对要比较大小的两个实数（或式子）作差； （ 2 ）变形：对差进行变形； （ 3 ）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． 2 ．不等式的基本性质 问题 3 ：根据前面的分析， 你能归纳一下发现等式性质的方法吗 ? 【破解方法】 先让学生思考、回答，教师再作归纳总结：等式性质的研究要从 “ 自身特性 ” 和 “ 运算中的不变性 ” 两方面人手，这两方面反映了式的大小关系的本质属性，因此以上性质就是等式的基本性质，同时指出研究数学对象的路径：先研究数学对象自身的特性，再研究其他特性．于是将刚才这些性质重新排序，板书如下： 性质 1 ： 如果 ，那么 ； 性质 2 ： 如果 ，那么 ； 性质 3 ： 如果 ，那么 ； 性质 4 ： 如果 ，那么 ； 性质 5 ： 如果 ，那么 ． 问题 4 ：等式的基本性质反映在 “ 相等关系自身的特性 ” 和 “ 运算中的不变性 ” ，不等式基本性质的研究我们也可以从这两个方面人手，你能类比 “ 相等关系自身的特性 ” 猜想出 “ 不等关系自身的特性 ” 吗 ? 【破解方法】 学生自主猜想、表达，从而让学生更清楚类比的不仅是形式，更是解决问题的思路和方法． 【归纳新知】 基本性质有： （ 1 ）对称性： （ 2 ）传递性： （ 3 ）可加性： （ c ∈ R ） （ 4 ）可乘性： a > b ， 运算性质有： （ 1 ）可加法则： （ 2 ）可乘法则： （ 3 ）可乘方性： 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例 1 】 （ 2023· 陕西渭南 · 高二统考期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金 a （ ）元，得到的利润为 b （ ）元，收益率为 （ % ），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资 x （ ）元，得到的利润也增加了 x 元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【解析】 若使得该项投资的总收益率是增加的，则 ， ， 得 ． 故选： C 【对点训练 1 】 （ 2023· 全国 · 高一专题练习）下列说法正确的是（      ） A ．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为 “ x <2 000” B ．某变量 y 不超过 a 可表示为 “ y ≤ a ” C ．某变量 x 至少为 a 可表示为 “ x > a ” D ．小明的身高 x cm ，小华的身高 y cm ，则小明比小华矮表示为 “ x > y ” 【答案】 B 【解析】 对于 A ，某人收入 x 不高于 2000 元可表示为 ， A 错误； 对于 B ，变量 y 不超过 a 可表示为 ， B 正确； 对于 C ，变量 x 至少为 a 可表示为 ， C