浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题（全解析版）

浙江省 嘉兴市第一中学 2024 届高三第一模拟测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 已知复数 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 3. 已知向量 ， ，若实数 λ 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 4. 已知 ， ， ，则下列结论错误的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知某物种 年后的种群数量 近似满足函数模型： （ ，当 时表示 2023 年初的种群数量） . 自 2023 年初起，经过 年后 ，当该物种的种群数量不足 2023 年初的 时， 的最小值为（参考数据： ）（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 6. 已知数列 满足 ， ，令 ．若数列 是公比为 2 的等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 7. 正四面体 棱长为 ，点 ， 是它内切球球面上的两点， 为正四面体表面上的动点，当线段 最长时， 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， ， 分别为 的内心和重心，当 轴时，椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正切函数是周期函数，最小正周期为 π B. 正切函数的图象是不连续的 C. 直线 是正切曲线 渐近线 D. 把 的图象向左、右平行移动 个单位，就得到 的图象 10. 下列说法正确的是（ ） A. 事件 A 与事件 B 互斥，则它们的对立事件也互斥． B. 若 ，且 ，则事件 A 与事件 B 不是独立事件． C. 若事件 A ， B ， C 两两独立，则 ． D. 从 2 个红球和 2 个白球中任取两个球，记事件 { 取出 两个球均为红色 } ， { 取出的两个球颜色不同 } ，则 A 与 B 互斥而不对立． 11. 已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线 与 交于 两点，且抛物线 在 两点处的切线交于点 ， 为 的中点，直线 交 于点 ，则（ ） A. 点 在直线 上 B. 是 的中点 C. D. 轴 12. 已知函数 ， ，则（ ） A. 当 时， 有 2 个零点 B. 当 时， 有 2 个零点 C. 存在 ，使得 有 3 个零点 D. 存在 ，使得 有 5 个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 展开式中的常数项是 120 ，则实数 ______ ． 14. 若数列 满足 ，则 __________ . 15. 半径为 R 的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 ______ ． 16. 对任意 ，函数 恒成立，则 a 的取值范围为 ___________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤 . 17. 已知在等差数列 中， ， ， 是数列 的前 项和，且满足 . （ 1 ）求数列 和 的通项公式； （ 2 ）设 ，求数列 的前 项和 . 18. 在 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， ， . （ 1 ）求角 A ； （ 2 ）作角 A 的平分线与 交于点 ，且 ，求 . 19. 如图所示，已知 是以 为斜边的等腰直角三角形，点 是边 的中点，点 在边 上，且 ．以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面 ，连接 ． （ 1 ）若 是线段 中点，求证： 平面 ； （ 2 ）求二面角 的余弦值． 20. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第 1 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐 . 某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第 1 天选择了米饭套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为 ；如果他第 1 天选择了面食套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为 . 已知他开学第 1 天中午选择米饭套餐的概率为 . （ 1 ）求该同学开学第 2 天中午选择米饭套餐的概率； （ 2 ）记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ， （ i ）证明： 等比数列； （ ii ）证明：当 时， . 21. 已知 为双曲线 上异于左、右顶点的一个动点，双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 ．当 时， 的最小内角为 ． （ 1 ）求双曲线 的标准方程． （ 2 ）连接 ，交双曲线于另一点 ，连接 ，交双曲线于另一点 ，若 ． ① 求证： 为定值； ② 若直线 AB ​ 的斜率为 −1​ ，求点 P ​ 的坐标． 22. 函数 . （ 1 ）求函数 的单调增区间； （ 2 ）当 时，若 ，求证： ； 嘉兴市第一中学 2024 届高三第一模拟测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 已知复数 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】 A 【解析】 分析】化简复数 ，继而求模即可 . 【详解】 则 ， 故选： A . 2. 已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】 A 【解析】 【分析】将 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合 ，即可得集合 的元素个数 . 【详解】当 时， ，