§2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件
学习目标 凡事预则立 1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理) 2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象、逻辑推理) 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
一、必要条件与充分条件定义:当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的__________,p是q的__________.【批注】充分条件、必要条件的意义:(1)p是q的充分条件,若p成立,则q一定成立;(2)p是q的必要条件,若p不成立,则q一定不成立.教材认知·内化必备知识必要条件充分条件
[诊断]正确的打“√”,错误的打“×”.(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件. ( )(2)“x>0”是“x>1”的充分条件. ( )(3)如果p是q的充分条件,则p是唯一的. ( )提示:不唯一,如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.×××
二、充要条件定义:如果p⇒q,且_____,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的__________.【批注】充要条件是相互的,同时存在的,p⇔q即p和q互为充要条件.q⇒p充要条件
[诊断]1.正确的打“√”,错误的打“×”.(1)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件. ( )【解析】根据等边三角形的关系即可得出“三角形的三条边相等”⇔“三角形的三个角相等”. (2)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件. ( )【解析】根据充要条件的传递性即可判断该命题正确.√√
2.用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空:(1)“x∈Q”是“x∈R”的________; (2)“x<5”是“x<0”的________; (3)“x=1”是“x2-2x+1=0”的________. 【解析】(1)x∈Q⇒x∈R但x∈R推不出x∈Q,所以“x∈Q”是“x∈R”的充分条件.(2)“x<5”推不出“x<0”但“x<0”⇒“x<5”,所以“x<5”是“x<0”的必要条件.(3)当x=1时,x2-2x+1=0成立,由x2-2x+1=0,解得x=1,所以“x=1”,是“x2-2x+1=0”的充要条件.答案:(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充要条件
类型一 必要条件(逻辑推理)【典例】判断下列各组中,是否有p⇒q或q⇒p成立,并用必要条件的语言表述:(1)p:a和b都是偶数,q:a·b是偶数.(2)p:△ABC是等边三角形,q:△ABC是等腰三角形.(3)p:=,q:x=y.(4)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,q:a>0.【解析】(1)p⇒q,但是q不能推出p,所以q是p的必要条件.(2)p⇒q,但是q不能推出p,所以q是p的必要条件.(3)p⇒q,但q不能推出p,所以q是p的必要条件.(4)p不能推出q,q⇒p,所以p是q的必要条件. 合作探究·形成关键能力
【总结升华】必要条件的两种判断方法(1)定义法:(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
【即学即练】 (多选题)下列p是q的必要条件的是 ( )A.p:|a|=1,q:a=1B.p:-1<a<1,q:a<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1【解析】选AD.要满足p是q的必要条件,即q⇒p.A中,由a=1,得|a|=1,故是必要条件;B中,a<1时,不一定-1<a<1,故不是必要条件;C中,a<b+1,不一定a<b,比如a=b,故不是必要条件;D中,由a>b+1,得a-b>1>0,故a>b,即是必要条件.
类型二 充分条件(逻辑推理)【典例】下列命题中,p是q的充分条件的是________. ①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等;③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.【解析】①因为(x-2)(x-3)=0,所以x=2或x=3,不能推出x-2=0,所以p不是q的充分条件;②因为两个三角形面积相等,不能推出两个三角形全等,所以p不是q的充分条件;③因为m<-2,所以1+4m<0,所以方程x2-x-m=0无实根,所以p是q的充分条件.答案:③
【总结升华】充分条件的两种判断方法(1)定义法:(2)命题判断方法:如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
【即学即练】 用充分条件的语言表述下面的命题:(1)若a=-b,则|a|=|b|;(2)若点C是线段AB的中点,则|AC|=|BC|;(3)当ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.【解析】(1)“a=-b”是“|a|=|b|”的充分条件;(2)“点C是线段AB的中点”是“|AC|=|BC|”的充分条件;(3)“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的充分条件.
类型三 充要条件(数学抽象)【典例】求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.【证明】①充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0,所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.②必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
【总结升华】充要条件的判断方法(1)定义法:①分清命题的条件和结论;②找推式,判断p⇒q和q⇒p的真假;③根据条件和推式得出结论.(2)等价法:将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.(3)赋值法:对于选择题,可以取一些特殊值或者特殊情况,用来说明结论或者推导不成立,但不可用于证明题.
【即学即练】 下列各组题中,哪些p是q的充要条件?为什么?(1)p:三角形为等腰三角形;q:三角形存在两角相等.(2)p:圆O内两条弦长相等;q:圆O内两条弦所对的圆周角相等.【解析
2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章 §2 2.1 必要条件与充分条件(课件)
