2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.3.2第1课时　函数的极值 学案

5.3.2 第 1 课时　函数的极值 素养目标 · 定方向 学习目标 核心素养 借助教材实例了解函数的极值及相关的概念 数学抽 象 能利用导数求某些函数极值 数学运算 必备知识 · 探新知 知识点 1 　极小值、极大值的概念 极小值 极大值 定义 若函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ a 的函数值 f ( a ) 比它在点 x ＝ a 附近其他点 的函数值都小， f ′( a ) ＝ 0 ；而且在点 x ＝ a 附近的左侧 __ f ′( x )<0 __ ，右侧 __ f ′( x )>0 __ ，就把点 a 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值点， f ( a ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极小值 若函数 y ＝ f ( x ) 在点 x ＝ b 的函数值 f ( b ) 比它在点 x ＝ b 附近其他点的函数值都大， f ′( b ) ＝ 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 f ′( x )>0 ；右侧 __ f ′( x )<0 __ ，就把点 b 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值点， f ( b ) 叫做函数 y ＝ f ( x ) 的极大值 图象 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 想一想： 导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，但导数值为 0 的点不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为 0 只是该点为极值点的必要条件，其充 要条件是该点处导数值为 0 且该点附近两侧的导数值异号． 练一练： 若函数 y ＝ f ( x ) 可导，则 “ f ′( x ) ＝ 0 有实根 ” 是 “ f ( x ) 有极值 ” 的 ( 　 A 　 ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 知识点 2 　函数极值的求解步骤 一般地，求函数 y ＝ f ( x ) 的极值的步骤是： (1) 求出函数的定义域及导数 f ′( x ) ； ( 2) 解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，得方程的根 x 0 ( 可能不止一个 ) ； (3) 用方程 f ′( x ) ＝ 0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将 x ， f ′( x ) ， f ( x ) 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4) 由 f ′( x ) 在各个开区间内的符号，判断 f ( x ) 在 f ′( x ) ＝ 0 的各个根处的极值情况： ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′( x )<0 ，那么 f ( x 0 ) 是 __ 极大值 __ ； ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x )>0 ，那么 f ( x 0 ) 是 __ 极小值 __ ． 练一练： 判断下列函数有无极值．如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由． (1) f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 ； (2) f ( x ) ＝ x 3 ＋ x 2 ＋ 4 x ； (3) f ( x ) ＝ 1 － ( x － 2) . [ 解析 ] 　 (1) f ′( x ) ＝ x 2 . 令 f ′( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝ 0. 当 x 变化时， f ′( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x ( － ∞ ， 0) 0 (0 ，＋ ∞ ) f ′( x ) ＋ 0 ＋ f ( x ) ↗ 无极值 ↗ 由表可知该函数无极值． (2) f ′( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ 4 ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ 3>0 ， 所以函数 f ( x ) 在 R 上为增函数，无极值． (3) 当 x ≠2 时， f ′( x ) ＝－ ( x － 2) － ， f ′( x ) ＝ 0 时无解； 当 x ＝ 2 时， f ′( x ) 不存在， 因此 f ( x ) ＝ 1 － ( x － 2) 在 x ＝ 2 处不可导． 但当 x <2 时， f ′( x )>0 ；当 x >2 时， f ′( x )<0 ，且函数 f ( x ) ＝ 1 － ( x － 2) 在 x ＝ 2 处有定义，所以函数 f ( x ) ＝ 1 － ( x － 2) 在点 x ＝ 2 处取得极大值，且极大值为 1. 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 极值点的概 念与判断 典例 1 　 (1)( 多选题 ) 下列说法正确的是 ( 　 CDE 　 ) A ．若 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ，则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极小值，若 f ( x )≤ f ( x 0 ) ，则称 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极大值 B ．若 f ( x 0 ) 为 f ( x ) 的极大值， f ( a ) 是函数的最大值，则 f ( x 0 ) ＝ f ( a ) C ．可导函数极值点的导数值为 0 ，但导数值为 0 的点可能不是函数的极值点 D ．极值点一定出现在定义区间的内部 E ．若 f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有极值，则 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内一定不是单调函数 (2) 已知函数 y ＝ xf ′( x ) 的图象如图所示， ( 其中 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数 ) ，给出以下说法： ① 函数 f ( x ) 在区间 (1 ，＋ ∞) 上是增函数； ② 函数 f ( x ) 在区间 ( － 1 ， 1) 上单调递增； ③ 函数 f ( x ) 在 x ＝－ 处取得极大值； ④ 函数 f ( x ) 在 x ＝ 1 处取得极小值． 其中正确的说法是 __ ①④ __ ． [ 解析 ] 　 (1) 对于 A ，反例：设 f ( x ) ＝ ， f ( x ) ≥ f (0) ＝ 0 ，因为 0 是区间 [0 ，＋ ∞ ) 的端点，所以 f (0) 不是 f ( x ) 的极小值；设 f ( x ) ＝－ ， f ( x ) ≤ f (0) ＝ 0 ，同理 f (0) 不是 f ( x ) 的极大值，所以 A 不正确． 对于 B ，由极值的定义知极大值不一定等于最大值，甚至有可能小于极小值，根据最大值的定义应该有 f ( x 0 ) ≤ f ( a ) ，所以 B 不正确． 对于 C ，正确． 对于 D ，函数的极值是某个点的函数值，与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的，端点不是函数极值点， D 正确． 对于 E ，在区间上单调的函数没有极值， E 正确． (2) 说法 ① ，由图象知，当