2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第五章 5.2.2　同角三角函数的基本关系(一) 学案

5.2.2 　同角三角函数的基本关系 ( 一 ) 学习目标 　 1 . 能推导同角三角函数的基本关系式 . 2 . 能利用同角三角函数的基本关系式进行一些求值运算 . 教材知识梳理 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系 :sin 2 α +cos 2 α = 1 . (2) 商数关系 : = tan α ( α ≠ k π+ , k ∈ Z) .  注意 :(1)“ 同角 ” 有两层含义 , 一是 “ 角相同 ”, 二是对 “ 任意 ” 一个角 ( 在使函数有意义的前提下 ) 都成立 , 即与角的表达形式无关 , 如 sin 2 2 α +cos 2 2 α =1 成立 , 但是 sin 2 α +cos 2 β =1 就不一定成立 . (2)sin 2 α 是 (sin α ) 2 的简写 , 读作 “sin α 的平方 ”, 不能将 sin 2 α 写成 sin α 2 , 前者是 α 的正弦的平方 , 后者是 α 2 的正弦 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 对任意角 α ,sin 2 +cos 2 =1 都成立 . ( 　 √ 　 ) (2) 对任意角 α ,tan α = 都成立 . ( 　 × 　 ) (3) 若 cos α =0, 则 sin α =1 . ( 　 × 　 ) (4) 若 sin α = , 则 cos α = = . ( 　 × 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P183 例 6) (1) 已知 sin α =- , 且 α 是第三象限角 , 求 cos α ,tan α 的值 ; (2) 已知 cos α =- , 求 sin α 和 tan α 的值 ; (3) 已知 tan α =2, 求 sin α 与 cos α 的值 . 【详解】 (1) 因为 sin 2 α +cos 2 α =1, 所以 cos 2 α =1-sin 2 α =1- = . 又因为 α 是第三象限角 , 所以 cos α <0, 即 cos α =- , 所以 tan α = =- × - = . (2)sin 2 α =1-cos 2 α =1- = , 因为 cos α =- <0, 所以 α 是第二或第三象限角 , 当 α 是第二象限角时 ,sin α = ,tan α = =- ; 当 α 是第三象限角时 ,sin α =- ,tan α = = . (3) 因为 tan α =2>0, 所以 α 是第一或第三象限角 . 因为 tan α =2, 所以 =2, 即 sin α =2cos α , 代入 sin 2 α +cos 2 α =1, 得 cos 2 α = . 当 α 为第一象限角时 ,cos α = , sin α =2cos α = ; 当 α 为第三象限角时 ,cos α =- , sin α =2cos α =- . 【归纳总结】 已知一个三角函数值求其余两个值 ( 知一求二 ) 利用同角三角函数的平方关系 sin 2 α +cos 2 α =1 和商数关系 =tan α α ≠ k π+ , k ∈ Z , 可以实现在 sin α ,cos α ,tan α 三个值之间 “ 知一求二 ”, 即知道其中一个可以求其余两个 . 注意 : 若题目中没有指出 α 是第几象限角 , 必须由题设条件推断 α 可能是第几象限的角 , 再分情况讨论 . 教材拓展延伸 【例 2 】已知 tan α =3, 计算下列各式的值 . (1) ; (2) ; (3)sin 2 α -2sin α cos α +1 . 【详解】 (1) 原式 = = = . (2) 原式 = = =- . (3) 原式 = +1= +1= +1= . 【归纳总结】 对于 sin α ,cos α 的齐次分式 , 可以弦化切 1 . 已知 tan α 的值 , 可以求 或 的值 , 将分子分母同除以 cos α 或 cos 2 α , 化成关于 tan α 或 tan 2 α 的式子 , 从而达到求值的目的 . 2 . 对于 a sin 2 α + b sin α cos α + c cos 2 α 的求值 , 可看成分母是 1, 利用 1=sin 2 α +cos 2 α 进行代替后分子分母同时除以 cos 2 α , 得到关于 tan α 和 tan 2 α 的式子 , 从而可以求值 . 【例 3 】已知 sin α +cos α = , α ∈ (0,π) . (1) 求 sin α cos α 的值 ; (2) 求 sin α -cos α 的值 . 【详解】 (1) 因为 sin α +cos α = , 所以 (sin α +cos α ) 2 = , 所以 1+2sin α cos α = , 于是 sin α cos α =- . (2) 因为 2sin α cos α =- <0, 又 α ∈ (0,π), 所以 sin α >0,cos α <0, 所以 α ∈ ,π , 所以 sin α -cos α = = . 【例 4 】已知 sin α ·cos α =- , α ∈ (0,π), 求 cos α -sin α. 【详解】因为 sin α cos α =- <0, 所以 α ∈ ,π , 所以 cos α -sin α <0, cos α -sin α =- =- =- . 【归纳总结】 对于 sin α ±cos α 与 sin α cos α , 可以知一求二 . sin α ±cos α ,sin α cos α 三个式子关系密切 , 已知 sin α ±cos α ,sin α cos α 中的一个 , 可以求剩下两个式子的值 , 涉及的三角恒等式有 : (1)(sin α +cos α ) 2 =1+2sin α cos α ; (2)(sin α -cos α ) 2 =1-2sin α cos α. 【例 5 】已知关于 x 的方程 5 x 2 + x + m =0 的两根为 sin θ ,cos θ. (1) 求 的值 ; (2) 求 m 的值 ; (3) 若 θ 为 △ ABC 的一个内角 , 求 tan θ 的值 , 并判断 △ ABC 的形状 . 【详解】 (1) 因为关于 x 的方程 5 x 2 + x + m =0 的两根为 sin θ ,cos θ , 所以 sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 所以 = =- =sin θ +cos θ =- . (2) 因为由 (1) 可得 sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 平方可得 1+2sin θ cos θ =1+ = , 所以 m =- . (3) 因为 sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ =- , θ 为 △ ABC 的内角 , 所以 sin θ = ,cos θ =- , 所以 tan θ = =- , 所以 θ 为钝角 , 故 △ ABC 是钝角三角形 .