2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（学案）

8.3 　 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 　 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 新课程标准解读 核心素养 1. 知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 直观想象 2. 能用公式解决简单的实际问题 数学运算 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体 . 金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石 . 如图就是一块正八面体的钻石 . 问题 　 如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体 　各个面　 的面积的和 . 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 　各个面　 的面积的和 . 　 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？ 提示： 都相等 . 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：棱柱的底面面积为 S ，高为 h ，则 V ＝ 　 Sh 　 ； 棱锥：棱锥的底面面积为 S ，高为 h ，则 V ＝ 　 Sh 　 ； 棱台：棱台的上、下底面面积分别为 S' ， S ，高为 h ，则 V ＝ （ S' ＋ ＋ S ） h . 等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？ 提示 ： V 棱柱 ＝ 3 V 棱锥 . 1. 若长方体的长、宽、高分别为 3 cm ， 4 cm ， 5 cm ，则长方体的体积为（ 　　 ） A.27 cm 3 　　　　　　　 B.60 cm 3 C.64 cm 3 D.125 cm 3 解析： B 　 V 长方体 ＝ 3 × 4 × 5 ＝ 60 （ cm 3 ） . 2. 已知正四棱锥的底面边长为 2 ，高为 3 ，则它的体积为（ 　　 ） A.2 B.4 C.6 D.12 解析： B 　 正四棱锥的底面积为 2 × 2 ＝ 4 ，则体积为 × 4 × 3 ＝ 4. 3. 棱台的上、下底面面积分别是 2 ， 4 ，高为 3 ，则棱台的体积为 　 　　　　 .   解析： V 棱台 ＝ × （ 2 ＋ 4 ＋ ） × 3 ＝ × 3 × （ 6 ＋ 2 ） ＝ 6 ＋ 2 . 答案： 6 ＋ 2 4. 正三棱柱的底面边长为 1 ，侧棱长为 2 ，则它的侧面积为 　 　　　　 ，表面积为 　 　　　　 .   解析： 正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为 3 × 1 × 2 ＝ 6 ；又 S 底面积 ＝ × 1 × ＝ ，所以它的表面积为 6 ＋ . 答案： 6 　 6 ＋ 题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 【例 1 】 　 已知正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高为 3 ，求它的表面积 . 解 　 如图，设 PO ＝ 3 ， PE 是斜高， ∵ S 侧 ＝ 2 S 底 ， ∴ 4 · ·BC·PE ＝ 2 BC 2 ， ∴ BC ＝ PE . 在 Rt△ POE 中， PO ＝ 3 ， OE ＝ BC ＝ PE ， ∴ 9 ＋（ ） 2 ＝ PE 2 ， ∴ PE ＝ 2 . ∴ S 底 ＝ BC 2 ＝ PE 2 ＝ （ 2 ） 2 ＝ 12 ， S 侧 ＝ 2 S 底 ＝ 2 × 12 ＝ 24 ， ∴ S 表 ＝ S 底 ＋ S 侧 ＝ 12 ＋ 24 ＝ 36. 通性通法 1. 求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别 . 2. 棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解 . 已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm ，高为 cm ，求此正三棱台的表面积 . 解： 如图所示，画出正三棱台 ABC - A 1 B 1 C 1 ，其中 O 1 ， O 分别为正三棱台上、下底面的中心， D ， D 1 分别为 BC ， B 1 C 1 的中点，则 OO 1 为正三棱台的高， DD 1 为侧面梯形 BCC 1 B 1 的高，四边形 ODD 1 O 1 为直角梯形，所以 DD 1 ＝ ＝ ＝ ，所以此三棱台的表面积 S 表 ＝ S 侧 ＋ S 底 ＝ 3 × × （ 3 ＋ 6 ） × ＋ × 3 2 ＋ × 6 2 ＝ （ cm 2 ） . 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 【例 2 】 　 正四棱台的底面边长分别为 20 cm 和 10 cm ，侧面面积为 780 cm 2 ，求其体积 . 解 　 正四棱台的大致图形如图所示，其中 A 1 B 1 ＝ 10 cm ， AB ＝ 20 cm ，取 A 1 B 1 的中点 E 1 ， AB 的中点 E ，连接 E 1 E ，则 E 1 E 为斜高 . 设 O 1 ， O 分别是上、下底面的中心，连接 O 1 O ， O 1 E 1 ， OE ，则四边形 EOO 1 E 1 为直角梯形 . ∵ S 侧 ＝ 4 × × （ 10 ＋ 20 ） × EE 1 ＝ 780 （ cm 2 ）， ∴ EE 1 ＝ 13 cm. 在直角梯形 EOO 1 E 1 中， O 1 E 1 ＝ A 1 B 1 ＝ 5 cm ， OE ＝ AB ＝ 10 cm ， ∴ O 1 O ＝ ＝ 12 （ cm ）， ∴ 该正四棱台的体积为 V ＝ × （ 10 2 ＋ 20 2 ＋ 10 × 20 ） × 12 ＝ 2 800 （ cm 3 ） . 通性通法 求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法 （ 1 ）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可； （ 2 ）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差 . 　 已知正六棱锥的底面面积为 6 ，侧棱长为 ，求这个棱锥的体积 . 解： 如图所示的正六棱锥 S - ABCDEF 中， O 是底面中心， SC ＝ ， SO 为正六棱锥的高， 设底面边长为 a ，则正六边形的面积为 6 × a 2 ＝ 6 ，解得