章末综合检测（二） 等式与不等式-人教B版高中数学必修第一册

章末综合检测（二） 等式与不等式 A 卷 —— 学业水平考试达标练 ( 时间： 60 分钟　满分： 100 分 ) 一、选择题 ( 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 设 a ， b ， c ∈ R ，且 a ＞ b ，则下列不等式成立的是 ( 　　 ) A ． a 2 ＞ b 2 　　　　　　　 B. ac 2 ＞ bc 2 C ． a ＋ c ＞ b ＋ c D. ＜ 解析：选 C 　 ∵ 1 ＞－ 2 ，但是 ＜ 不成立，故 D 不正确； ∵ － 1 ＞－ 2 ，但是 ( － 1) 2 ＞ ( － 2) 2 不成立，故 A 不正确； ∵ a ＞ b ， ∴ a ＋ c ＞ b ＋ c ， C 正确； c ＝ 0 时， 0 ＝ ac 2 ＞ bc 2 ＝ 0 ，不成立，故选 C. 2 ．若 m ≠ 2 且 n ≠ － 1 ，则 M ＝ m 2 ＋ n 2 － 4 m ＋ 2 n 的值与－ 5 的大小关系为 ( 　　 ) A ． M ＞－ 5 B ． M ＜－ 5 C ． M ＝－ 5 D ．不确定 解析：选 A 　 ∵ m ≠ 2 ， n ≠ － 1 ， ∴ M － ( － 5) ＝ ( m － 2) 2 ＋ ( n ＋ 1) 2 ＞ 0 ， ∴ M ＞－ 5. 3 ．已知全集 U ＝ R ，且 A ＝ { x || x － 1| ＞ 2} ， B ＝ { x | x 2 － 6 x ＋ 8 ＜ 0} ，则 ( ∁ U A ) ∩ B 等于 ( 　　 ) A ． { x | － 1 ≤ x ＜ 4} B ． { x |2 ＜ x ＜ 3} C ． { x |2 ＜ x ≤ 3} D ． { x | － 1 ＜ x ＜ 4} 解析：选 C 　 ∵ A ＝ { x | x ＞ 3 或 x ＜－ 1} ， ∴ ∁ U A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ． 又 ∵ B ＝ { x |2 ＜ x ＜ 4} ， ∴ ( ∁ U A ) ∩ B ＝ { x |2 ＜ x ≤ 3} ，故选 C. 4 ．若 0< x <2 ，则 x (2 － x ) 的最大值是 ( 　　 ) A ． 2 B. C ． 1 D. 解析：选 C 　因为 0< x <2 ，所以 2 － x ＞ 0 ， x (2 － x ) ≤ 2 ＝ 1 ，当且仅当 x ＝ 2 － x ，即 x ＝ 1 时，取 “ ＝ ” ，故选 C. 5 ．已知实数 a ， b ， c 满足 b ＋ c ＝ 6 － 4 a ＋ 3 a 2 ， c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( 　　 ) A ． c ≥ b > a B ． a ≥ c ≥ b C ． c > b > a D ． a > c > b 解析：选 A 　 ∵ c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ＝ (2 － a ) 2 ≥ 0 ， ∴ c ≥ b . ∵ b ＋ c ＝ 6 － 4 a ＋ 3 a 2 ， c － b ＝ 4 － 4 a ＋ a 2 ， ∴ 两式相减，得 2 b ＝ 2 ＋ 2 a 2 ，即 b ＝ 1 ＋ a 2 . ∵ 1 ＋ a 2 － a ＝ 2 ＋ >0 ， ∴ b ＝ 1 ＋ a 2 > a ， ∴ c ≥ b > a . 6 ．已知 ＋ ＝ 1( x ＞ 0 ， y ＞ 0) ，则 x ＋ y 的最小值为 ( 　　 ) A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18 解析：选 D 　因为 ＋ ＝ 1( x ＞ 0 ， y ＞ 0) ，所以 x ＋ y ＝ ( x ＋ y ) ＝ 10 ＋ ＋ ≥ 10 ＋ 2 ＝ 18. 当且仅当 ＝ ，即 x ＝ 6 ， y ＝ 12 时取等号，所以 x ＋ y 的最小值为 18. 7 ．当 ≤ x ≤ 3 时， 的最小值为 ( 　　 ) A. B. C ．－ 1 D ． 0 解析：选 D 　 ＝ x ＋ － 2 ≥ 2 － 2 ＝ 0 ， 当且仅当 x ＝ ，即 x ＝ 1 时取等号． 所以 的最小值是 0. 8 ．某商场的某种商品的年进货量为 10 000 件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费 100 元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件 2 元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 ( 　　 ) A ． 200 件 B ． 5 000 件 C ． 2 500 件 D ． 1 000 件 解析：选 D 　设每次进货 x 件，费用为 y 元．由题意 y ＝ 100 × ＋ 2 × ＝ ＋ x ≥ 2 ＝ 2 000 ，当且仅当 x ＝ 1 000 时取等号， y 最小，故选 D. 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 ) 9 ．已知 a ＞ b ＞ 0 ，且 c ＞ d ＞ 0 ，则 与 的大小关系是 ________ ． 解析： ∵ c ＞ d ＞ 0 ， ∴ ＞ ＞ 0 ， ∵ a ＞ b ＞ 0 ， ∴ ＞ ＞ 0 ， ∴ ＞ . 答案： ＞ 10 ．已知 12< a <60,15< b <36 ，则 的取值范围为 ________ ． 解析： ∵ 15< b <36 ， ∴ < < ， 又 ∵ 12< a <60 ， ∴ < <4. 答案： 11 ．若不等式 ax 2 － 6 x ＋ a >0 对 x ∈ R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 解析：当 a ＝ 0 时，不等式解为 x <0 ，与已知矛盾． 当 a ≠ 0 ，需满足 解得 a >3. 综上可知 a >3. 答案： { a | a >3} 12 ．若 a ， b ∈ R ， ab >0 ，则 的最小值为 ________ ． 解析：因为 ab >0 ，所以 ≥ ＝ ＝ 4 ab ＋ ≥ 2 ＝ 4 ，当且仅当 a 2 ＝ 2 b 2 ，且 ab ＝ 时取等号，故 的最小值是 4. 答案： 4 三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 13 ． (8 分 ) 解下列不等式 ( 组 ) ： (1) (2)6 － 2 x ≤ x 2 － 3 x <18. 解： (1) 原不等式组可化为 即 0< x <1 ，所以原不等式组的解集为 { x |0< x <1} ． (2) 原不等式等价于 即 因式分解，得 所以 所以－ 3< x ≤ － 2 或 3 ≤ x <6. 所以原不等式的解集为 { x | － 3< x ≤ － 2 或 3 ≤ x <6} ． 14 ． (10 分 ) 你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m 2 的矩形吗？ 解：设围成的矩形一边的长为 x m ，则另一边的长为 (50 － x )m ，且 0< x <50. 由题意，得围成矩形的