2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.6解三角形1.6.3解三角形应用举例 课件

1.6.3　解三角形应用举例 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点　几个相关概念(1)基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如图(1)． (3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图(2)．(4)方位角：指从正北方向起按顺时针转到目标方向线所成的水平夹角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．(5)视角：观察物体的两端，视线张开的夹角，如图(3)． 状元随笔　利用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题时，经常涉及一些功能性的概念问题．对于这些概念，一般要结合具体问题和图形理解． 基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　)(2)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　)(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的．(　　)(4)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)(2)题图√√√× 2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)A． km B． kmC．1.5 km D．2 km 答案：A解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝ (km)．  3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°答案：B解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β. 4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)A．(30＋30)m B．(30＋15)mC．(15＋30)m D．(15＋3)m 答案：A解析：方法一　在△ABP中，由正弦定理可得＝，则PB＝＝30()(m)设树的高度为h，则h＝PB sin 45°＝(30＋30)m.方法二　设树的高度为h，则AB＝＝60，解得h＝(30＋30) m.  题型探究·课堂解透 题型 1　测量距离问题例1　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C、D，测得CD＝40米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.(1)求B，D两点的距离；(2)求A，B两点的距离． 解析：(1)由题意可知∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，CD＝40.所以∠DCB＝135°，∠DBC＝30°，在△BCD中，由正弦定理，得＝.所以BD＝＝＝40.所以B，D两点的距离为40米．(2)在△ACD中，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝15°，所以AD＝DC＝40米．在△ABD中，由余弦定理得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝402＋(40)2－2×40×40＝8 000，所以AB＝40，所以A、B两点的距离为40米．  方法归纳求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 跟踪训练1　为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面)，测得AC＝1.6 m，CD＝2 m，BD＝1.8 m，已知cos ∠BDC＝－，tan ∠ACD＝3.(1)求△ACD的面积；(2)求A，B两点间的距离．  解析：(1)因为tan ∠ACD＝3，可得sin ∠ACD＝，所以S△ACD＝AC·CD·sin ∠ACD＝ m2.(2)因为tan ∠ACD＝3，所以cos ∠ACD＝，所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2×＝5.76，则AD＝2.4，因为cos ∠ADC＝＝，所以sin ∠ADC＝，又cos ∠BDC＝－，所以∠ADB＝，所以AB＝＝＝3 m．  题型 2　测量高度问题例2　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝135°，CD＝50米，在点C测得塔顶A的仰角为45°，求塔高AB. 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－30°－135°＝15°，∵sin ∠CBD＝sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理＝得BC＝＝＝50(＋1)．在Rt△ABC中∠ACB＝45°.∴AB＝BC＝50(＋1)．所以塔高AB为50(＋1)米．  方法归纳测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算．  跟踪训练2　圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35 m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和