2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.1.1 空间向量及其线性运算 学案

第一章　空间向量与立体几何 1 ． 1 　空间向量及其运算 1 ． 1.1 　空间向量及其线性运算 课程标准 1 ．了解空间向量的概念． 2 ．掌握空间向量的线性运算． 学法解读 1 ．了解空间向量的概念． ( 数学抽象 ) 2 ．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． ( 逻辑推理 ) 3 ．掌握空间向量线性运算的法则和运算律． ( 数学运算 ) 4 ．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面． ( 数学抽象 ) 知识点 1 　空间向量的概念 1 ．定义：在空间，具有 _ 大小 __ 和 _ 方向 __ 的量叫做空间向量． 2 ．长度或模：向量的 _ 大小 __. 3 ．表示方法： (1) 几何表示法：空间向量用 _ 有向线段 __ 表示； (2) 字母表示法：用字母 a ， b ， c ， … 表示；若向量 a 的起点是 A ，终点是 B ，也可记作 ，其模记为 | a | 或 | |. 4 ．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 _ 长度为 0 __ 的向量叫做零向量．记为 0 单位向量 _ 模为 1 __ 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量 a 长度 _ 相等 __ 而方向 _ 相反 __ 的向量，叫做 a 的相反向量，记为－ a 共线向量 ( 平行向量 ) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量 a ，都有 0 ∥ a 相等向量 方向 _ 相同 __ 且模 _ 相等 __ 的向量叫做相等向量 思考 1 ：单位向量都相等吗？ 提示：不一定．单位向量的模虽然都为 1 ，但是方向各异． 做一做：判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 向量 与向量 的长度相等． ( √ ) (2) 零向量没有方向． ( × ) [ 解析 ] 　 (1) 对于任意向量 和 ，都有 | | ＝ | | 成立． (2) 零向量有方向，它的方向是任意的． 知识点 2 　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝ ＋ ＝ 减法 a － b ＝ － ＝ 数乘 当 λ >0 时， λ a ＝ λ ＝ ； 当 λ <0 时， λ a ＝ λ ＝ ； 当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ 0 运算律 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； 结合律： a ＋ ( b ＋ c ) ＝ ( a ＋ b ) ＋ c ， λ ( μ a ) ＝ ( λμ ) a ； 分配律： ( λ ＋ μ ) a ＝ λ a ＋ μ a ， λ ( a ＋ b ) ＝ λ a ＋ λ b 思考 2 ：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？ 提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 做一做：已知空间四边形 ABCD 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 等于 ( B ) A ． a ＋ b － c 　　 B ． c － a － b C ． c ＋ a － b 　 D ． c ＋ a ＋ b [ 解析 ] 　 ＝ ＋ ＋ ＝－ b － a ＋ c ＝ c － a － b ，故选 B ． 知识点 3 　共线向量 1 ．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 a ， b ( b ≠ 0 ) ， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ ，使得 a ＝ λ b 　 . 2 ．直线的方向向量 在直线 l 上取非零向量 a ，我们把 与向量 a 平行的非零向量　 称为直线 l 的方向向量． 思考 3 ：对于空间向量 a ， b ， c ，若 a ∥ b 且 b ∥ c ，是否可以得到 a ∥ c? 提示：不能．若 b ＝ 0 ，则对任意向量 a ， c 都有 a ∥ b 且 b ∥ C ． 思考 4 ：怎样利用向量共线证明 A ， B ， C 三点共线？ 提示：只需证明向量 ， ( 不唯一 ) 共线即可． 做一做：判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ C ． ( × ) (2) 若 a ∥ b ，则存在唯一的实数 λ ，使得 a ＝ λ B ． ( × ) (3) 若 ＝ ，则 A ， B ， C 三点共线． ( √ ) 提示： (1) 当 b ＝ 0 时， a ∥ c 不一定成立． (2) 当 a 是非零向量， b ＝ 0 时，不存在实数 λ ，使得 a ＝ λ B ． (3) 由 ＝ 知 ∥ ，且有公共点 B ，此时 A ， B ， C 三点共线． 知识点 4 　共面向量 如图，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α . 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 做一做：下列说法正确的是 ( C ) A ．空间的任意两个向量都共线 B ．空间的任意三个向量都不共面 C ．空间的任意两个向量都共面 D ．空间的任意三个向量都共面 [ 解析 ] 　由共线向量的定义可知，两个向量是否共线需要判断；由共面向量的定义可知，空间中任意两个向量一定共面，空间中三个向量有可能共面，也有可能不共面． 题型探究　　 题型一　空间向量及相关概念的理解 典例 1 给出下列命题： ① 两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ② 若空间向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ ± b ； ③ 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，必有 ＝ ； ④ 若空间向量 m ， n ， p 满足 m ＝ n ， n ＝ p ，则 m ＝ p ； ⑤ 在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，模与 AA 1 的模相等的向量一共有 4 个． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A ． 1 　　　　 B ． 2 C ． 3 　　　　 D ． 4 [ 解析 ] 　当