素养目标•定方向
1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．1．了解数学归纳法的原理．(数学抽象、逻辑推理)2．掌握数学归纳法的步骤．(逻辑推理)3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
必备知识•探新知
数学归纳法 知识点 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝_______(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝_________时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．n0k＋1
想一想：用数学归纳法证明命题的关键是什么？提示：步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3＋a4[解析] 表达式的左边是从1开始加到a3n＋1结束，所以验证n＝1成立时等式左边计算所得项是1＋a＋a2＋a3＋a4.故选D.D
关键能力•攻重难
题型探究题型一对数学归纳法的理解典例 1
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析] 在证明n＝k＋1不等式也成立时，没有应用n＝k时的假设，即没有用到归纳递推，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D.D
[规律方法] 数学归纳法的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
对点训练❶C
题型二用数学归纳法证明等式典例 2
[规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．
对点训练❷
则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立．
题型三用数学归纳法证明不等式[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．典例 3
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
对点训练❸
则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
题型四数学归纳法在数列中的应用 (2023·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．典例 4
(2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当n＝k时成立，然后利用已知条件验证n＝k＋1时也成立，从而求证．(2)①当n＝1时，a1＝2，等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝4k－2，
∴(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0.又ak＋1＋ak≠0，∴ak＋1－ak－4＝0，∴ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知，an＝4n－2对任何n∈N*都成立．
[规律方法] 通过此例可看出观察、归纳、猜想、证明的思想方法的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．
(1)求a2，a3，a4；(2)推测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．对点训练❹
故当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，对n∈N*都有
易错警示未用归纳假设而致误 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n> 2，n∈N*)．典例 5
[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[误区警示] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么n
2023-2024学年高中数学北师大版选择性必修第二册 数学归纳法 课件
