课标阐释1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(逻辑推理)2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学建模)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形,如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数,可以得到一列数1,3,9,27,…,这是一个等比数列.你能否类比等差数列{an}的性质:“若m+n=p+q,那么am+an=ap+aq”,得出等比数列中类似的性质?
知识梳理等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am·an=2.an=am·qn-m(m,n∈N+).3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为qk+1.
5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1. 注意等式成立的前提和角标规律
名师点析等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
微判断(1)等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.( )(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.( )(3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.( )√ × ×
微练习(1)在等比数列{an}中,a2a6a10=1,则a3a9= . (2)在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a12= .答案 (1)1 (2)567
课堂篇 探究学习
探究一等比数列通项公式的推广应用例1已知等比数列{an}中.(1)若a4=2,a7=8,求an;(2)若{an}为递增数列,且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an.
反思感悟(1)应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1,q共同确定,但只要单调,必有q>0.
变式训练1已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( )A.21 B.42 C.63 D.84答案 B解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.
探究二等比数列的性质及其应用例2已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=l
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 等比数列的性质及应用 (课件)
