2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 平面向量在几何中的应用举例 课件

第二章 平面向量及其应用§6 平面向量的应用 课时5 平面向量在几何中的应用举例 学习目标 1.会用向量法解决简单的平面几何问题,体会向量在数学问题中的作用.（数学抽象） 2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤.（逻辑推理） 3.学会选择恰当的方法,将几何问题转化为向量问题.（直观想象） 自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价 1.如何用向量的方法判断两条直线平行或垂直？[答案] 两条直线的方向向量共线时，两条直线平行（或重合）;两条直线的方向向量垂直时，两条直线垂直.2.如何用向量的方法求两条直线的夹角？[答案] 求两条直线的方向向量所成的角. 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若 <m></m> 是线段 <m></m> 的中点，则有 <m></m> . ( ) √（2）若 <m></m> ，则直线 <m></m> 与 <m></m> 平行. ( ) ×（3）若 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线. ( ) √（4）若 <m></m> 为直角三角形，则有 <m></m> . ( ) × 2.在 <m></m> 中，若 <m></m> ，则 <m></m> ( ). A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定C[解析] <m></m> ，即 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 是等腰三角形. 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形 <m></m> 的对角线 <m></m> 的两端点分别为 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ___. 1[解析] 由已知得 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> ， <m></m> .所以 <m></m> .  探究1 平面向量在几何中的应用 如图所示,某水渠横断面是四边形 <m></m> , <m></m> ,且 <m></m> .  问题1：如何判断这个四边形的形状？[答案] 利用向量共线和向量模的定义，证明该四边形是等腰梯形.问题2：向量运算与几何中的结论“若 <m></m> ,则 <m></m> ,且 <m></m> , <m></m> 所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会？ [答案] 全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.例如,向量的数量积对应着几何中的长度.问题3：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？[答案] 矩形两对角线的平方和等于四边的平方和. 新知生成 用向量法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系,用______表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为______问题. （2）通过______运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. （3）把__________“翻译”成几何关系.向量向量向量运算结果 新知运用例1 已知四边形 <m></m> 是边长为6的正方形, <m></m> 为 <m></m> 的中点,点 <m></m> 在 <m></m> 上,且 <m></m> , <m></m> 与 <m></m> 相交于点 <m></m> ,求四边形 <m></m> 的面积. 方法指导 先建系，设点 <m></m> 的坐标,再根据 <m></m> , <m></m> , <m></m> 和 <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别共线求点 <m></m> 的坐标,最后求四边形 <m></m> 的面积. [解析] 以 <m></m> 为坐标原点, <m></m> 所在直线为 <m></m> 轴, <m></m> 所在直线为 <m></m> 轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> （ <m></m> , <m></m> ）, <m></m> , <m></m> ,设 <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> .  由点 <m></m> , <m></m> , <m></m> 和点 <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别共线,得 <m></m> 解得 <m></m> <m></m> <m></m> . &1& 用向量法解决平面几何计算问题的两种方法 （1）几何法:选取适当的一组基（基中的向量尽量已知模或夹角）,将题中涉及的向量用基表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.（2）坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算. 如图,在平行四边形 <m></m> 中,已知 <m></m> , <m></m> ,对角线 <m></m> ,求对角线 <m></m> 的长. [解析] 设 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> , <m></m> <m></m> , <m></m> , <m></m> .又 <m></m> , <m></m> .  探究2 用向量法证明几何问题例2 已知在 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> 是对角线 <m></m> 上的两点,且 <m></m> ,试用向量法证明:四边形 <m></m> 是平行四边形. 方法指导 先证明 <m></m> ,再根据 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 四点不共线证明 <m></m> 是平行四边形.  [解析] 设 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> ,所以 <m></m> ,且 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 四点不共线,所以四边形 <m></m> 是平行四边形.  &2& 利用向量法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量法解决平面几何问题时,有两种思路:一种是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明. 已知正方形 <m></m> , <m></m> ， <m></m> 分别是