2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.1.2　复数的几何意义（学案）

7.1.2 　 复数的几何意义 新课程标准解读 核心素养 1. 通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象 2. 通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象 3. 通过向量的模表示复数的模 数学运算 　　 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型 . 问题 　 （ 1 ）你能否为复数找一个几何模型？ （ 2 ）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 复数与复平面内点的关系 1. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 　 x 轴　 叫做实轴， 　 y 轴　 叫做虚轴 . 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 2. 复数集 C 中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数 z ＝ a ＋ b i 复平面内的点 Z （ a ， b ），这是复数的一种几何意义 . 提醒 　 复数 z ＝ a ＋ b i （ a ， b ∈ R ）对应的点是（ a ， b ），而不是（ a ， b i ） . 知识点二　复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点 Z 表示复数 z ＝ a ＋ b i ，连接 OZ ，显然向量 由点 Z 唯一确定；反过来，点 Z 也可以由向量 唯一确定 . 因此，复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（ 实数 0 与零向量对应 ），即复数 z ＝ a ＋ b i 平面向量 . 为了方便起见，我们常把复数 z ＝ a ＋ b i 说成点 Z 或说成向量 ，并且规定， 　相等　 的向量表示同一个复数 . 知识点三　复数的模 1. 定义：向量 的 　模　 叫做复数 z ＝ a ＋ b i 的 　模　 或绝对值 . 2. 记法：复数 z ＝ a ＋ b i 的模记作 　 ｜ z ｜ 或 ｜ a ＋ b i ｜ 　 . 3. 公式： ｜ z ｜＝｜ a ＋ b i｜＝ 　 　 （ a ， b ∈ R ） . 知识点四　共轭复数 1. 定义：当两个复数的实部 　相等　 ，虚部 　互为相反数　 时，这两个复数叫做互为共轭复数 . 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做 　共轭虚数　 . 2. 表示：复数 z 的共轭复数用 表示，即如果 z ＝ a ＋ b i ，那么 ＝ 　 a － b i 　 . 提醒 　 （ 1 ）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（ 2 ） ｜ z ｜＝｜ ｜ . 1. 复数－ 1 ＋ i 在复平面内对应的点在（ 　　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： B 　 复数 － 1 ＋ i 在复平面内对应的点为（ － 1 ， 1 ），故在第二象限 . 故选 B. 2. 已知 O 为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量 ＝ （－ 1 ， 2 ），则点 M 对应的复数为（ 　　 ） A.1 ＋ 2i B. － 1 ＋ 2i C.2 － i D.2 ＋ i 解析： B 　 因为 O 为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量 ＝ （ － 1 ， 2 ），则点 M 对应的复数为 － 1 ＋ 2i. 故选 B. 3. 设 z ＝ 1 － 2i ，则 ｜ z ｜＝ 　 　　　　 ， ＝ 　 　　　　 .   解析： 因为 z ＝ 1 － 2i ，所以 ｜ z ｜＝ ＝ ， ＝ 1 ＋ 2i. 答案： 　 1 ＋ 2i 题型一 复数与复平面内点的关系 【例 1 】 　 在复平面内，若复数 z ＝ （ m 2 － 2 m － 8 ） ＋ （ m 2 ＋ 3 m － 10 ） i 对应的点： （ 1 ）在虚轴上； （ 2 ）在第二、四象限； 分别求实数 m 的取值范围 . 解 　 复数 z ＝ （ m 2 － 2 m － 8 ） ＋ （ m 2 ＋ 3 m － 10 ） i 在复平面内对应的点为（ m 2 － 2 m － 8 ， m 2 ＋ 3 m － 10 ） . （ 1 ）由题意得 m 2 － 2 m － 8 ＝ 0. 解得 m ＝ － 2 或 4. （ 2 ）由题意，（ m 2 － 2 m － 8 ）（ m 2 ＋ 3 m － 10 ） ＜ 0. ∴ 2 ＜ m ＜ 4 或 － 5 ＜ m ＜－ 2. 1. （ 变设问 ） 本例条件不变，若复数在第二象限，求 m 的取值范围 . 解： 由题意， ∴ 2 ＜ m ＜ 4. 2. （ 变设问 ） 本例条件不变，若复数在直线 y ＝ x 上，求 m 的值 . 解： 由已知得 m 2 － 2 m － 8 ＝ m 2 ＋ 3 m － 10 ，故 m ＝ . 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （ 1 ）找对应关系：复数的几何表示即复数 z ＝ a ＋ b i （ a ， b ∈ R ）可以用复平面内的点 Z （ a ， b ）来表示，这是解决此类问题的根据； （ 2 ）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解 . 提醒 　 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示 . 1. 已知复数 z ＝ 1 － 2i ，则 z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ 　　 ） A. （ 1 ，－ 2 ） B. （ 1 ， 2 ） C. （－ 2 ， 1 ） D. （－ 1 ，－ 2 ） 解析： D 　 z 在复平面内对应的点为（ 1 ， － 2 ），关于虚轴对称的点是（ － 1 ， － 2 ） . 故选 D. 2. 已知复数 z 1 ＝ 2 － a i （ a ∈ R ， i 为虚数单位）对应的点在直线 y ＝ x ＋ 上，则复数 z 2 ＝ a ＋ 2i 对应的点在（ 　　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： B 　 复数 z 1 ＝ 2 － a i （ a ∈ R ）对应的点的坐标为（ 2 ， － a ）