1.6 平面直角坐标系中的距离公式
核心知识目标核心素养目标掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.通过距离公式的探索过程提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
知识探究·素养培育探究点一 两点间的距离公式[问题1-1] 如图,BC为一高为10 m垂直于水平面的电线杆,B为顶端,C为电线杆与水平面的交点,点A在水平面上,与点C的距离为5 m,则A,B两点间的距离是多少?如果A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中任意两点,则如何求A,B两点之间的距离?
[问题1-2] 你能用平面向量的知识,得出平面上两点间的距离公式吗?
知识点1:两点间的距离公式
[思考1] 如果点A(x1,y1),B(x2,y2)所在的直线方程为y=kx+b,如何求A,B两点间的距离?
[例1] (2020·福建厦门大同中学高二期中)以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等腰三角形 (D)直角三角形
方法总结两点间的距离公式是解析几何中最基本的距离公式,使用时只要正确代入两点的坐标即可.
变式训练1-1:(2020·山西古县第一中学高二期中)已知A(1,3),B(-1,0),求:(1)A,B两点间的距离;
(2)线段AB的垂直平分线的方程.
探究点二 点到直线的距离公式[问题2] 由平面几何知识知,从直线l外一点P向l作垂线,垂足为N,垂线段PN的长即为点P到直线l的距离.在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为零),你能使用x0,y0,A,B,C表达点P到直线l的距离吗?
知识点2:点到直线的距离公式平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式:d= .(其中A,B不全为0).
(A)1 (B)-1(C)0或-1 (D)-1或1
[例2-2] (2020·上海行知中学高二期中)已知点A(-3,1),点M,N分别是x轴和直线2x+y-5=0上的两个动点,则|AM|+|MN|的最小值等于 .
方法总结(1)注意利用平面上两点之间以“连接这两点的线段长度最短”分析研究折线段长度之和的最小值.(2)直线外一点与直线上一点距离的最小值为直线外的点到直线的距离.
变式训练2-1:(2020·河北尚义第一中学高二期中)若点P(2,1)到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的方程为( )(A)x=0 (B)3x+4y=0(C)x=0或3x+4y=0 (D)x=0或3x-4y=0
变式训练2-2:(2020·合肥第十一中学高二期中)已知直线l:kx-y+1-2k=0(k∈R),则点A(5,0)到l的距离的最大值为 .
答案:(-∞,-3]∪[17,+∞)
探究点三 两条平行直线间的距离公式[问题3] 在平面直角坐标系中,直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的法向量都是(A,B),当C1≠
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 平面直角坐标系中的距离公式 （课件）
