知识梳理·自主探究情境导入著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y/百分比10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
探究:(1)当时间间隔t逐渐增大时,对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个测试,以后应如何对待刚学过的知识?答案:(1)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小,这个测试告诉我们,在学习中,应及时复习刚学习过的知识.(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?答案:(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.
知识探究1.增函数与减函数的定义增函数减函数定义设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)那么就称函数y=f(x)是 ,特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 .那么就称函数y=f(x)是减函数,特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数y=f(x)在区间I上 .图象特征函数f(x)在区间D上的图象从左往右看 .函数f(x)在区间D上的图象从左往右看 .<>增函数单调递增单调递减上升下降
图象示例
2.函数的单调性如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的 .思考1:若一个函数有多个增(或减)的单调区间,写函数的单调区间时应注意什么?提示:若函数有多个增(或减)的单调区间,各区间之间只能用“,”或“和”连接,而不能用“∪”与“或”连接.思考2:如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数吗?提示:不一定.单调递增单调递减单调区间
拓展总结(2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
师生互动·合作探究探究点一 函数单调性(或单调区间)的确定
解:(2)当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
[例1] 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
方法总结根据函数解析式求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定,二次函数的单调性由二次项系数以及二次函数的对称轴确定等.(2)如函数的单调性不能由解析式直接确定,也可以作出函数的图象,利用函数的图象确定函数的单调区间.易错警示:若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开.
探究点二 证明函数的单调性
方法总结利用定义判断或证明函数单调性的步骤
针对训练:已知函数f(x)=x2-2x+3(x∈R).写出函数f(x)的单调递增区间,并用定义加以证明.
探究点三 函数单调性的应用
方法总结解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间D上单调递增,对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),则有x1<x2;若函数y=f(x)在区间D上单调递减,对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),则有x1>x2.但要注意不要忘记函数的定义域.
解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].角度2 利用函数的单调性求参数的取值(范围)[例4] 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是 . 答案:(-∞,-4]
方法总结已知函数的单调区间求参数问题的方法:若函数在某一区间上单调,则此区间是函数相应单调区间的子区间,由此转化为不等式问题求解.易错警示:函数的单调区间与函数在某区间上单调含义不相同.函数的单调区间是I,指的是函数单调区间的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.
针对训练:若函数f(x)=|2x+a|在区间[6,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ;若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[6,+∞),则a的取值集合是 . 答案:[-12,+∞) {-12}
角度3 含参数的分段函数的单调性
方法总结含参数的分段函数的单调性对于分段函数在实数集R上单调的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系(若函数是增函数,则左边比右边小,若函数是减函数,则右边比左边小),这样才能满足在R上单调,否则求出的参数的取值范围会出现错误.
答案:[4,8)
学海拾贝复合函数的单调性复合函数y=f(g(x)),若u=g(x)在给定的区间(a,b)上是单调函数且y=f(u)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a)) 上也是单调函数,则复合函数y=f(g(x))在(a,b)上是单调
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的单调性(课件)
