2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.2.2　第2课时 直线与双曲线的位置关系 学案

第 2 课时　直线与双曲线的位置关系 课程标准 1 ．掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法． 2 ．会求直线和双曲线相交的弦长、弦中点等问题． 3 ．了解双曲线的实际应用背景，体会建立数学模型解决实际问题的过程． 学法解读 1 ．结合教材实例掌握直线和双曲线的位置关系的判定方法． ( 数学抽象 ) 2 ．能解决与弦长、中点相关的问题． ( 数学运算 ) 3 ．掌握直线与双曲线、离心率、渐近线等相关的综合问题． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点 1 　直线与双曲线的位置关系 设直线 l ： y ＝ kx ＋ m ( m ≠ 0) ， ① 双曲线 C ： － ＝ 1( a >0 ， b >0) ， ② 把 ① 代入 ② 得 ( b 2 － a 2 k 2 ) x 2 － 2 a 2 mkx － a 2 m 2 － a 2 b 2 ＝ 0. (1) 当 b 2 － a 2 k 2 ＝ 0 ，即 k ＝ ± 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线 _ 平行 __ ，直线与双曲线 _ 相交于一点 __. (2) 当 b 2 － a 2 k 2 ≠ 0 ，即 k ≠ ± 时， Δ ＝ ( － 2 a 2 mk ) 2 － 4( b 2 － a 2 k 2 )( － a 2 m 2 － a 2 b 2 ) ． Δ>0 ⇒ 直线与双曲线有 _ 两 __ 个公共点； Δ ＝ 0 ⇒ 直线与双曲线有 _ 一 __ 个公共点； Δ<0 ⇒ 直线与双曲线有 _ 0 __ 个公共点． 思考：直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？ 提示：不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点． 做一做：直线 l 过点 ( ， 0) 且与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 2 仅有一个公共点，则这样的直线有 ( C ) A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条　　 D ． 4 条 [ 解析 ] 　根据双曲线方程可知，点 ( ， 0) 即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点 ( ， 0) 且与双曲线仅有一个公共点的直线有 3 条． 知识点 2 　弦长公式 若斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线与双曲线相交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，则 | AB | ＝ 　 . 做一做：已知直线 l ： x － y ＋ m ＝ 0 与双曲线 x 2 － ＝ 1 交于不同的两点 A ， B ，若线段 AB 的中点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 5 上，则实数 m 的值是 ±1 　 . [ 解析 ] 　由 消去 y 得 x 2 － 2 mx － m 2 － 2 ＝ 0. 则 Δ ＝ 4 m 2 ＋ 4 m 2 ＋ 8 ＝ 8 m 2 ＋ 8>0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 m ， y 1 ＋ y 2 ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 m ＝ 4 m ， 所以线段 AB 的中点坐标为 ( m, 2 m ) ． 又点 ( m, 2 m ) 在 x 2 ＋ y 2 ＝ 5 上， 所以 m 2 ＋ (2 m ) 2 ＝ 5 ，得 m ＝ ±1. 题型探究 题型一　直线与双曲线的位置关系 典例 1 已知双曲线 x 2 － y 2 ＝ 4 ，直线 l ： y ＝ k ( x － 1) ，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1) 直线 l 与双曲线有两个公共点； (2) 直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3) 直线 l 与双曲线没有公共点． [ 分析 ] 　要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论． [ 解析 ] 　 消去 y 得， (1 － k 2 ) x 2 ＋ 2 k 2 x － k 2 － 4 ＝ 0(*) (1) 当 1 － k 2 ＝ 0 ，即 k ＝ ±1 时，直线 l 与双曲线渐近线平行，方程化为 2 x ＝ 5 ，故此方程 (*) 只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点． (2) 当 1 － k 2 ≠ 0 ，即 k ≠ ±1 时， Δ ＝ (2 k 2 ) 2 － 4(1 － k 2 )( － k 2 － 4) ＝ 4(4 － 3 k 2 ) ． ① 即－ < k < ，且 k ≠ ±1 时，方程 (*) 有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点． ② 即 k ＝ ± 时，方程 (*) 有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③ 即 k < － ，或 k > 时，方程 (*) 无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－ < k < － 1 ，或－ 1< k <1 ，或 1< k < 时，直线与双曲线有两个公共点；当 k ＝ ±1 ，或 k ＝ ± 时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当 k < － ，或 k > 时，直线与双曲线没有公共点． [ 规律方法 ] 　 1. 直线与双曲线位置关系的判断方法： (1) 方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去 y ( 或 x ) ，则二次项系数为 0 时，直线与双曲线的渐近线平行 ( 或重合 ) ，直线与双曲线只有一个公共点 ( 或无公共点 ) ；二次项系数不等于 0 时，若 Δ>0 则直线与双曲线有两个公共点， Δ ＝ 0 有一个公共点， Δ<0 无公共点． (2) 数形结合思想的应用 ① 直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ② 直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 2 ．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解． 对点训练 ❶ 直线 y ＝ kx ＋ d ( k ， d ∈ R ) 与双曲线 － ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 最多有几个交点 ( B ) A ． 1 　　　 B ． 2 C ． 3 　　　 D ． 4 [ 解析 ] 　由题，联立直线 y ＝ kx ＋ d ( k ， d ∈ R ) 与双曲线