1.4.1 向量分解及坐标表示
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 平面向量基本定理1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即__________，其中x，y是实数．(2)实数x，y由___________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．不共线v＝xe1＋ye2v＝xe1＋ye2
状元随笔 平面向量基本定理的理解是同一平面内的两个不共线的向量，的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基．(2)平面内的任一向量都可以沿基进行分解．(3)基确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．
要点二 平面向量的正交分解与坐标表示1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．状元随笔 标准正交基是平面向量的一组特殊的基．互相垂直单位{i，j}(r cos α，r sin α)
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．( )(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．( )(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．( )(4)基向量可以是零向量．( )×√××
2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一组基的是( )A．与 B．与C．与 D．与 答案：AC解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基，故AC满足题意．
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝( )A．(a－b) B．2b－aC．(b－a) D．2b＋a 答案：B解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.
4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．(2，－3)解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．
题型探究·课堂解透
题型 1 对平面向量基本定理的理解例1 (1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有( )A．e1，e2一定平行B．e1，e2的模相等C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)答案：D解析：D选项符合平面向量基本定理．故选D.
(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是( )A．e2和e1＋e2 B．2e1－4e2和－e1＋2e2C．e1和e1－e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2答案：ACD解析：e1、e2是平面内所有向量的一组基，e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．
方法归纳对基的理解(1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基．(2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示，表达式不一样．
跟踪训练1 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基的一组向量是( )A． B．C． D． 答案：B解析：由基的概念可知，作为基的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基向量，与不共线，可作为基向量．
题型 2 平面向量基本定理的应用角度1 用基表示平面向量例2 如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基{a，b}表示向量.
解析：易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基，所以解得所以＝a＋b.
方法归纳用基表示向量的两种基本方法用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．
角度2 利用平面向量基本定理求参数例3 在三角形ABC中，点E，F满足＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝________． － 解析：依
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.4向量的分解与坐标表示1.4.1向量分解及坐标表示 课件
