重庆市育才中学2022届高三二诊模拟（二）数学试题（全解析版）

重庆市 重庆育才中学高 2022 届二诊数学模拟考试（二） 试题卷共 4 页，考试时问 120 分钟，满分 150 分 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1. 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ， 为虚数单位，则 （ ） A B. C. D. 2. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥的表面积为 ，圆锥的高与母线长之比 ，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A. 七尺五寸 B. 六尺五寸 C. 五尺五寸 D. 四尺五寸 5 关于直线 ，有下列四个命题： 甲：直线 经过点 (0 ， -1) ； 乙：直线 经过点 (1 ， 0) ； 丙：直线 经过点 (-1 ， 1) ； 丁： . 如果只有一个假命题，则该命题 （ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 有 4 名大学生志愿者参加 2022 年北京冬奥会志愿服务 . 冬奥会志愿者指挥部随机派这 4 名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰 3 个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 是奇函数，且当 时， ，则 （ ） A. B. 6 C. D. 7 8. 设 a ， b 都为正数， e 为自然对数的底数，若 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，其它情况得 0 分 . 9. 若 a ＞ b ＞ 0 ＞ c ，则 ( ) A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件 A 与 B 互相独立，且 ，则 B 设随机变量 X 服从正态分布 . 则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 D. 若随机变量 服从二项分布 ，则 11. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，长轴长为 4 ，点 在椭圆内部，点 Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. B. 当离心率为 时， 的最大值为 C. 椭圆 C 离心率的取值范围为 D. 存在点 Q 使得 12. 在矩形 中， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，若 ，则下列各选项正确的是（ ） A. 四面体 外接球的表面积为 B. 点 B 与点 D 之间的距离为 C. 四面体 的体积为 D. 异面直线 与 所成的角为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 设集合 ，则 ________ . 14. 已知圆 ： ，直线 ： ( 为参数 ) 截圆 的弦长为 ，则 ___________. 15. 已知抛物线 的焦点为 F ，准线为 l ，过 F 的直线 m 与 E 交于 A ， B 两点， 的垂直平分线分别交 l 和 x 轴于 P ， Q 两点 . 若 ，则 __________. 16. 电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制 . 一个十进制数 可以表示成二进制数 ，即 ，其中 . 用 表示十进制数 n 的二进制表示中 1 的个数，则 ________ ；对任意 ________ （结果用 r 表示） . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在 △ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， sin A ＝ 2sin B . （1） 若 ，求 C ； （2） 点 D 在边 AB 上，且 AD ＝ c ，证明： CD 平分 ∠ ACB . 18. 2020 年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在 100 个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取 15 个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据 ，其中 和 分别表示第 i 个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万 元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到 ， ， ， ， ． （ 1 ）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入． （ 2 ）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到 0.01 ） （ 3 ）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数 ， ． 19. 已知数列 满足 . （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， … ，求 的前 项和 . 20. 如图，在三棱锥 中， ， ， ，点 O 是 AC 中点，点 P 在线段 MC 上， （1） 证明： 平面 ABC ； （2） 若 ，直线 AP 与平面 ABC 所成的角为 ，求二面角 的余弦值的大小 21. 已知函数 ，其中 . （ 1