2022年上海市秋季高考数学试卷（全解析版）

2022 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 ～ 6 题每题 4 分，第 7 ～ 12 题每题 5 分） 1 ．已知 （其中 为虚数单位），则 　　 ． 2 ．双曲线 的实轴长为 　　 ． 3 ．函数 的周期为 　　 ． 4 ．已知 ，行列式 的值与行列式 的值相等，则 　　 ． 5 ．已知圆柱的高为 4 ，底面积为 ，则圆柱的侧面积为 　　 ． 6 ． 已知 ，则 的最小值为 　　 ． 7 ．二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的 5 倍，则 　　 ． 8 ． 若函数 为奇函数，则实数 　　 ． 9 ．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 1 项，球类 3 项，田径类 4 项共 8 项项目中随机抽取 4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　 ． 10 ．已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ， 1 ， 2 ， ， 中不同的数值有 　　 个． 11. 已知 ， ，且 ， ， ，则 12 ．设函数 满足 ，定义域为 ， ，值域为 ，若集合 ， ， 可取得 中所有值，则参数 的取值范围为 　　 ． 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 . 13 ．若集合 ， ， ，则 　　 A ． ， ， 0 ， B ． ， 0 ， C ． ， D ． 14 ．若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是 　　 A ． B ． C ． D ． 15 ．如图正方体 中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 的中点，联结 ， ．空间任意两点 、 ，若线段 上不存在点在线段 、 上，则称 两点可视，则下列选项中与点 可视的为 　　 A ．点 B ．点 C ．点 D ．点 16 ．设集合 ， ， ①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧； ②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上； 　　 A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立 D ．①不成立②不成立 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） . 17 ．（ 14 分）如图所示三棱锥，底面为等边 ， 为 边中点，且 底面 ， ． （ 1 ）求三棱锥体积 ； （ 2 ）若 为 中点，求 与面 所成角大小． 18 ．（ 14 分） ． （ 1 ）若将函数 图像向下移 后，图像经过 ， ，求实数 ， 的值． （ 2 ）若 且 ，求解不等式 ． 19 ．（ 14 分）在如图所示的五边形中， ， ， 为 中点，曲线 上任一点到 距离相等，角 ， ， 关于 对称； （ 1 ）若点 与点 重合，求 的大小； （ 2 ） 在何位置，求五边形面积 的最大值． 20 ．（ 16 分）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端点为 ， 在 上，左、右焦点分别为 ， 、 ， ． （ 1 ） ， 中点在 轴上，求点 的坐标； （ 2 ）直线 与 轴交于 ，直线 经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求 ； （ 3 ）在椭圆 上存在一点 到 距离为 ，使 ，随 的变化，求 的最小值． 21 ．（ 18 分）数列 对任意 且 ，均存在正整数 ， ，满足 ， ， ． （ 1 ）求 可能值； （ 2 ）命题 ：若 ， ， ， 成等差数列，则 ，证明 为真，同时写出 逆命题 ，并判断命题 是真是假，说明理由； （ 3 ）若 ， 成立，求数列 的通项公式． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1 ～ 6 题每题 4 分，第 7 ～ 12 题每题 5 分） 1 ．已知 （其中 为虚数单位），则 　 　 ． 【思路分析】直接利用共轭复数的概念得答案． 【解析】 ，则 ，所以 ．故答案为： ． 【试题评价】本题考查了共轭复数的概念，是基础题． 2 ．双曲线 的实轴长为 　 6 　 ． 【思路分析】根据双曲线的性质可得 ，实轴长为 ． 【解析】由双曲线 ，可知： ，所以双曲线的实轴长 ．故答案为： 6 ． 【试题评价】本题考查双曲线的性质，是基础题． 3 ．函数 的周期为 　 　 ． 【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得 ，从而根据周期公式即可求值． 【解析】 ， ．故答案为： ． 【试题评价】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题． 4 ．已知 ，行列式 的值与行列式 的值相等，则 　 3 　 ． 【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可． 【解析】因为 ， ，所以 ，解得 ．故答案为： 3 ． 【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属于基础题． 5 ．已知圆柱的高为 4 ，底面积为 ，则圆柱的侧面积为 　 ．　 ． 【思路分析】由底面积为 解出底面半径 ，再代入侧面积公式求解即可． 【解析】因为圆柱的底面积为 ，即 ，所以 ，所以 ． 故答案为： ． 【试题评价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题． 6 ． 已知 ，则 的最小值为 　　 ． 【思路分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可． 【解析】如图所示： 由 ， ，可知行域为直线 的左上方和 的右上方的公共部分， 联立 ，可得 ，即图中点 ， ， 当目标函数 沿着与正方向向量 的相反向量平移时，离开区间时取最小值， 即目标函数 过点 ， 时，取最小值： ． 故答案为： ． 【试题评价】本题考查了线性