2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积第1课时圆柱圆锥圆台的表面积和体积 学案

第 1 课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【学习目标】　 (1) 掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． (2) 能运用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 题型 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【问题探究 1 】　 (1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何求它们的底面积、侧面积、表面积？ (2) 圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系？ 例 1 　 (1) 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 ( 　　 ) A ． 1∶2 B ． 1∶ C ． 1∶ D ． ∶2 (2) 已知某圆 台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π ，则该圆台较小底面的半径为 ( 　　 ) A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 3 学霸笔记：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面 积之和． 跟踪训练 1 　圆柱的一个底面积是 S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ( 　　 ) A ． 4π S B ． 2π S C ． π S D ． π S 题型 2 圆柱、圆锥、圆台的体积 【问题探究 2 】　我们以前学过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？ 例 2 　 (1) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O 1 ， O 2 ，过直线 O 1 O 2 的 平面截该圆柱所得的截面是面积为 12 的正方形，则该圆柱的体积为 ( 　　 ) A ． 12 π B ． 12π C ． 6 π D ． 2 π (2) 圆台上、下底面面积分别是 π ， 4π ，侧面积是 6π ，这个圆台的体积是 ________ ． 学霸笔记：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的 轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解． 跟踪训练 2 　已知一个圆锥的底面半径为 1 ，其侧面积是底面积 2 倍，则圆锥的体积为 ( 　　 ) A ． B ． C ． π D ． π 题型 3 简单组合体的表面积和体积 例 3 　如图，其中 B ， C 分别是上、下底面圆的圆心，且 AC ＝ 3 AB ＝ 6 ，底面圆的半径为 2 ，求该组合体的表面积和体积． 学霸笔记：求组合体的表面积和体积：首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的，组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的 几个简单组合体的体积之和 ( 差 ) ． 跟踪训练 3 　如图所示，从底面半径为 2 a ，高为 a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积 S 1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S 2 之比． 随堂练习 1 ．已知某圆柱的高为 10 ，底面周长为 8π ，则该圆柱的体积为 ( 　　 ) A ． 640π 　　 B ． 250π 　　 C ． 160π 　　 D ． 120π 2 ．已知圆锥的底面半径为 2 ，高为 2 ，则其侧面积为 ( 　　 ) A ． 2 π B ． 4 π C ． 6π D ． 8π 3 ．圆台上、下底面半径分别是 1 、 2 ，高为 ，这个圆台的体积是 ( 　　 ) A ． π B ． 2 π C ． 7 π D ． π 4 ． 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ DAB ＝ 90° ， ∠ ADC ＝ 135° ， AB ＝ 5 ， CD ＝ 2 ， AD ＝ 2 ，则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所围成几何体的表面积为 ________ ． 课堂小结 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积． 2 ．圆柱、圆锥、圆台的体积． 3 ．简单组合体的表面积和体积． 第 1 课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 问题探究 1 　提示： (1) 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高 ( 母线 ) ．设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，则有 S 侧 ＝ 2π rl ， S 表 ＝ 2π r ( r ＋ l ) ． 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长 ( 如图 ) ， ∴ S 侧 ＝ π rl ， S 表 ＝ π r ( r ＋ l ) ，其中 r 为圆锥底面圆半径， l 为母线长． 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长 ( 如图 ) ．易知 ＝ ，解得 x ＝ l . 所以 S 侧 ＝ S 大扇形 － S 小扇形 ＝ π R ( x ＋ l ) － π rx ＝ π[( R － r ) x ＋ Rl ] ＝ π( r ＋ R ) l ， S 表 ＝ π( r 2 ＋ rl ＋ Rl ＋ R 2 ) ． (2) S 圆柱侧 ＝ 2π rl S 圆台侧 ＝ π( r ′ ＋ r ) l S 圆锥侧 ＝ π rl . 例 1 　解析： (1) 设圆锥底面半径为 r ，则高 h ＝ 2 r ， ∴ 其母线长 l ＝ r ， ∴ S 侧 ＝ π rl ＝ π r 2 ， S 底 ＝ π r 2 ， S 底 ∶ S 侧 ＝ 1∶ . 故选 C. (2) 设圆台较小底面的半径为 r ，则另一底面的半径为 3 r . 由 S 侧 ＝ 3π( r ＋ 3 r ) ＝ 84π ，解得 r ＝ 7. 故选 A. 答案： (1)C 　 (2)A 跟踪训练 1 　解析：设底面半径为 r ，则 π r 2 ＝ S ， ∴ r ＝ ， ∴ 底面周长为 2π r ＝ 2π ， 又侧面展开图为一个正方形， ∴ 侧面积是 ＝ 4π S . 故选 A. 答案： A 问题探究 2 　 提示：如图所示，由三角形相似，可得 ＝ ，变形解得 H ＝ h . 所以 H － h ＝ h . 则 V 圆台 ＝ V 大圆锥 － V 小圆锥 ＝ π