第一章 三角函数§3 弧度制
学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.（数学抽象） 2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式.（数学运算） 3.熟悉特殊角的弧度数.（数学运算）
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1.前面学过角度可以用角度制来衡量，那么还有其他的度量单位来表示角度吗？[答案] 有，弧度制．2.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？[答案] 不相等.因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，因为半径不同，所以圆心角也不同.
3.角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么？[答案] 扇形弧长公式为 <m></m> ，扇形面积公式为 <m></m> （其中 <m></m> 是扇形所在圆的半径， <m></m> 为扇形的圆心角）. 4.你认为式子 <m></m> 中，比值 <m></m> 与所取的圆的半径大小是否有关？ [答案] 与半径大小无关，一定大小的圆心角 <m></m> 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的． 5.用弧度制表示 <m></m> ． [答案] <m></m> .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.( )√（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.( )×（3） <m></m> 的角是周角的 <m></m> ， <m></m> 的角是周角的 <m></m> .( ) √（4） <m></m> 的角比 <m></m> 的角要大.( ) √
2. <m></m> 对应的角度为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，故选C.
3.与角 <m></m> 终边相同的角是( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 与角 <m></m> 终边相同的角为 <m></m> ， <m></m> ，当 <m></m> 时，此角等于 <m></m> .故选C.
4.已知扇形的半径 <m></m> ，圆心角 <m></m> ，则该扇形的弧长等于____，面积等于_____，周长等于________． <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 弧长 <m></m> ，面积 <m></m> ，周长为 <m></m> ．
探究1 角度与弧度的换算 单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫.”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”，应用起来要方便得多.初中几何里，角度制就是度量角的一种单位制.
问题1：在初中几何里，我们学习过角的度量， <m></m> 的角是怎样定义的呢？ [答案] <m></m> 的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份圆心角就是 <m></m> ．它是一个定值，与所取圆的半径大小无关． 问题2：射线 <m></m> 绕端点 <m></m> 旋转到 <m></m> 形成角 <m></m> ，在旋转过程中，射线 <m></m> 上的一点 <m></m> （不同于点 <m></m> ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 <m></m> .设 <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 所形成的圆弧 <m></m> 的长为 <m></m> ,求弧长 <m></m> 与半径 <m></m> 的比值. [答案] 因为 <m></m> ，所以 <m></m> .
问题3：上述问题2中，射线 <m></m> 上的一点 <m></m> （不同于点 <m></m> ）, <m></m> ，在旋转过程中，点 <m></m> 所形成的圆弧 <m></m> 的长为 <m></m> ,求弧长 <m></m> 与半径 <m></m> 的比值，其与问题2中的比值有何关系? [答案] 因为 <m></m> ，所以 <m></m> .故 <m></m> .
新知生成1.角的单位制（1）角度制：规定周角的 <m></m> 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制． （2）弧度制：把长度等于________的弧所对的________叫作1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作________，它的单位符号是 <m></m> ，读作______，通常略去不写． （3）角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是___.如果半径为 <m></m> 的圆的圆心角 <m></m> 所对弧的长为 <m></m> ，那么角 <m></m> 的弧度数的绝对值 <m></m> _ _. 半径长圆心角弧度制弧度正数负数0<m></m>
（4）半径为___的圆叫作单位圆.2.角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度 <m></m> _______ <m></m> <m></m> ______ <m></m> ______ <m></m> <m></m> 角度化弧度弧度化角度特别提醒：（1）用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“ <m></m> ”可以不写；（2）用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少 <m></m> 的形式，如无特别要求，不必把 <m></m> 写成小数；（3）角度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. 1<m></m> <m></m> <m></m>
新知运用例1 设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （1）将 <m></m> ， <m></m> 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； （2）将 <m></m> ， <m></m> 用角度表示出来，并在 <m></m> 范围内找出与它们终边相同的所有的角． 方法指导 利用弧度制与角度制的换算公式求解.
[解析] （1） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . <m></m> 的终边在第二象限， <m></m>
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 弧度制 课件
