2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）（原卷全解析版）

2021 年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（ 5 分）已知全集 U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，集合 M ＝ {1 ， 2} ， N ＝ {3 ， 4} ，则 ∁ U （ M ∪ N ）＝（　　） A ． {5} B ． {1 ， 2} C ． {3 ， 4} D ． {1 ， 2 ， 3 ， 4} 2 ．（ 5 分）设 iz ＝ 4+3 i ，则 z ＝（　　） A ．﹣ 3 ﹣ 4 i B ．﹣ 3+4 i C ． 3 ﹣ 4 i D ． 3+4 i 3 ．（ 5 分）已知命题 p ： ∃ x ∈ R ， sin x ＜ 1 ；命题 q ： ∀ x ∈ R ， e | x | ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（　　） A ． p ∧ q B ．￢ p ∧ q C ． p ∧ ￢ q D ．￢（ p ∨ q ） 4 ．（ 5 分）函数 f （ x ）＝ sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（　　） A ． 3 π 和 B ． 3 π 和 2 C ． 6 π 和 D ． 6 π 和 2 5 ．（ 5 分）若 x ， y 满足约束条件 则 z ＝ 3 x + y 的最小值为（　　） A ． 18 B ． 10 C ． 6 D ． 4 6 ．（ 5 分） cos 2 ﹣ cos 2 ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 7 ．（ 5 分）在区间（ 0 ， ）随机取 1 个数，则取到的数小于 的概率为（　　） A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 5 分）下列函数中最小值为 4 的是（　　） A ． y ＝ x 2 +2 x +4 B ． y ＝ |sin x |+ C ． y ＝ 2 x +2 2 ﹣ x D ． y ＝ lnx + 9 ．（ 5 分）设函数 f （ x ）＝ ，则下列函数中为奇函数的是（　　） A ． f （ x ﹣ 1 ）﹣ 1 B ． f （ x ﹣ 1 ） +1 C ． f （ x +1 ）﹣ 1 D ． f （ x +1 ） +1 10 ．（ 5 分）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 为 B 1 D 1 的中点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为 （　　） A ． B ． C ． D ． 11 ．（ 5 分）设 B 是椭圆 C ： + y 2 ＝ 1 的上顶点，点 P 在 C 上，则 | PB | 的最大值为（　　） A ． B ． C ． D ． 2 12 ．（ 5 分）设 a ≠0 ，若 x ＝ a 为函数 f （ x ）＝ a （ x ﹣ a ） 2 （ x ﹣ b ）的极大值点，则（　　） A ． a ＜ b B ． a ＞ b C ． ab ＜ a 2 D ． ab ＞ a 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13 ．（ 5 分）已知向量 ＝（ 2 ， 5 ）， ＝（ λ ， 4 ），若 ∥ ，则 λ ＝ 　 　 ． 14 ．（ 5 分）双曲线 ﹣ ＝ 1 的右焦点到直线 x +2 y ﹣ 8 ＝ 0 的距离为 　 　 ． 15 ．（ 5 分）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为 ， B ＝ 60° ， a 2 + c 2 ＝ 3 ac ，则 b ＝ 　 　 ． 16 ．（ 5 分）以图 ① 为正视图，在图 ②③④⑤ 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 　 　 （写出符合要求的一组答案即可）． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 s 1 2 和 s 2 2 ． （ 1 ）求 ， ， s 1 2 ， s 2 2 ； （ 2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ﹣ ≥2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 18 ．（ 12 分）如图，四棱锥 P ﹣ ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ． （ 1 ）证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ； （ 2 ）若 PD ＝ DC ＝ 1 ，求四棱锥 P ﹣ ABCD 的体积． 19 ．（ 12 分）设 { a n } 是首项为 1 的等比数列，数列 { b n } 满足 b n ＝ ，已知 a 1 ， 3 a 2 ， 9 a 3 成等差数列． （ 1 ）求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； （ 2 ）记 S n 和 T n 分别为 { a n } 和 { b n } 的前 n 项和．证明： T n ＜ ． 20 ．（ 12 分）已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）的焦点 F 到准线的距离为 2 ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 ＝ 9 ，求直线 OQ 斜率的最大值． 21 ．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ x 3 ﹣ x 2 + ax +1 ． （ 1 ）讨论 f （ x ）的单调性； （ 2 ）求曲线 y ＝ f （ x ）过坐标原点的切线与曲线 y ＝ f （ x ）的公共点的坐标． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中， ⊙ C 的圆心为 C （ 2 ， 1 ），半径为 1 ． （ 1 ）写出 ⊙ C 的一个参数方程； （ 2 ）过点 F （ 4 ， 1