01要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线的两点式方程已知直线过两点,（其中,），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当时，所求直线的斜率.任取,中的一点，例如取，由点斜式方程，得，当时，可写为，这个方程叫作直线的两点式方程.名师点睛与坐标轴垂直的直线不能用直线的两点式表示，但如果将上述方程变形为，则可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线.
知识点2.直线的截距式方程已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中,. 将两点，的坐标代入两点式，得，即，这个方程叫作直线的截距式方程.
名师点睛由截距式方程可知，只有在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线才能用截距式表示，因此，过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线不能用截距式表示.
02题型分析·能力素养提升
【题型一】直线的两点式方程例1已知的三个顶点分别为，，. （1）求边所在直线的方程； 解由两点式得，边所在直线的方程为，即． （2）求边上的中线所在直线的方程. 由题意得，点的坐标为.由两点式得，所在直线的方程为，即．
规律方法 利用两点式求直线方程当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求直线方程.在斜率存在的情况下，也可以先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
跟踪训练1已知的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程. 解如图，直线过点，，其两点式方程为，整理得，这就是边所在直线的方程．直线垂直于轴，故边所在直线的方程为．直线平行于轴，故边所在直线的方程为．
【题型二】直线的截距式方程例2求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 解①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0时，可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即②当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线过原点，设直线的方程为.因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．
题后反思 应用直线的截距式方程的注意事项（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，那么可以考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及直线是否与坐标轴垂直.
跟踪训练2求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 解①当截距不为0时，设直线的方程为.又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为．②当截距为0时，设直线的方程为.又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．
【题型三】直线的截距式方程的应用例3直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：（1）的周长为12.（2）的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解设直线方程为，若满足条件（1），则.又因为直线过点，所以．
由①②可得，解得或所以所求直线的方程为或，即或．若满足条件（2），则.由题意，得，由③④可得，解得或所以所求直线的方程为或，即或．综上，存在同时满足两个条件的直线,其方程为．
题后反思本题主要考查了直线的截距式方程的应用，解答中涉及直线与坐标轴围成的三角形的面积和三角形的周长问题，以及方程组的求解等知识点的综合应用，熟记直线的截距式方程是方程组顺利求解的关键.
跟踪训练3过点作直线，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为原点. （1）若的面积为9，求直线的方程； 解设，，其中，，则由直线的截距式方程，得直线的方程为．将点的坐标代入直线的方程，得依题意，得，即，所以，从而，所以，整理得，解得，，因此直线的方程为或，整理得或．
（2）若的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程. 根据题意，结合（1）得，，当且仅当，即，时取等号，因此直线的方程为，即
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线的两点式方程 课件
