一轮复习大题专练
21
—解三角形
（中线、角平分线、高线问题）
1
．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
．
（
1
）求
；
（
2
）已知
，
，求
边上的中线
的长．
解：（
1
）因为
，
由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
（
2
）由余弦定理，
．
解法一：
，
在
中，
，
故
．
解法二：
，
则
，
故
．
2
．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．
（
1
）求
；
（
2
）若
，且
边上的中线长为
，求
．
解：（
1
）因为
，由正弦定理可得
，
因为
，
所以
，
可得
，因为
，所以
，可得
，
又因为
，可得
．
（
2
）由余弦定理可得
，
①
又在
中，
，设
的中点为
，
在
中，
，可得
，可得
，
②
由
①②
可得
，解得
．
3
．已知在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．
（
1
）求角
的大小；
（
2
）若
，
为
的中点，
的面积为
，求
的长．
解：（
1
）因为
，
所以
，
又
，
所以
，可得：
，
因为
，
所以
，即
，
因为
，
所以
．
（
2
）因为
，
，
的面积为
，
所以
，
由余弦定理
，可得
，
可得
，
因为
，可得：
，解得
，
可得
的长为
．
4
．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．
（
1
）求
；
（
2
）若点
在
上，满足
为
的平分线，
且
，求
的长．
解：（
1
）由正弦定理及
得，
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
．
（
2
）由（
1
）得角
，
又因为
为
的平分线，点
在
上，所以
，
又因为
，且
，所以
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，解得
．
5
．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．
（
1
）求角
；
（
2
）若角
的角平分线交
于点
，
，
，求
和
的长度．
解：（
1
）由
及正弦定理得
，
因为
，
所以
，
由
为三角形内角得
；
（
2
）因为
平分
，则
到
，
的距离相等，设为
，
因为
，
所以
，
由角平分线性质得
，
所以
，
因为
，
，
由余弦定理得
，
解得
所以
，
因为
，
，
解得
．
6
．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知函数
的一条对称轴为
，且
（
A
）
．
（
1
）求
的值；
（
2
）若
，求
边上的高的最大值．
解：（
1
）
函数
一条对称轴为
，
，
，
，
，
，
，
，
（
A
）
，
，
，
．
（
2
）由余弦定理得：
，当且仅当
时取等号，
，又
，
的面积最大值为
．
故对应高的最大值为：
．
7
．在
中，
，
，
，求：
（
1
）角
；
（
2
）
边上的高．
解：（
1
）在
中，
，
，
，所以角
为钝角，由
，解得
．
利用正弦定理的应用
，解得
，所以
．
（
2
）根据（
1
）的结论，
．
所以
，
由于
，解得
，
故
边上的高为
．
解答题专练21—解三角形（中线、角平分线、高线）-高考数学一轮复习
