激趣诱思交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k= .k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
知识点拨一、直线的倾斜角 定义在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.规定:当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.记法α
图示范围[0,π)作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可.
名师点析倾斜角还可以这样定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角;并规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.对于平面直角坐标系中的每一条直线l,都有唯一确定的倾斜角α与之对应.
微练习1如图所示,直线l的倾斜角为( )A.45° B.135° C.30° D.不存在答案 B
微练习2直线x=1的倾斜角α= .答案 90°
二、直线的斜率在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则称 为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.显然,若直线l垂直于x轴,则它的斜率不存在;若直线l不与x轴垂直,则它的斜率存在且唯一,因此,我们常用斜率来表示直线的倾斜程度.
名师点析1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成 ,即下标的顺序一致.
微思考运用斜率公式计算直线AB的斜率时,需要考虑A(x1,y1),B(x2,y2)的顺序吗?
微判断(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.( )(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )(3)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( )×××
三、直线斜率与倾斜角的关系1.斜率与倾斜角的关系由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α.
2.斜率与倾斜角的对应关系 图示倾斜角(范围)α=00<α<α= <α<π斜率(范围)0k>0不存在k<0斜率变化规律定值直线逆时针旋转,倾斜角α在0至 间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为正数不存在直线逆时针旋转,倾斜角α在 至π间逐渐增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数
微思考1直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗?提示 不是,当倾斜角为90°时,直线的斜率不存在.
微思考2直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?
微练习已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角α= . 答案 135°
四、直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量,若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率
名师点析1.如果a为直线l的一个方向向量,那么对于任意的实数λ≠0,向量λa都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线.2.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则是直线l的一个方向向量.3.一般地,如果已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,则:(1)当u=0时,显然直线的斜率不存在,倾斜角为90°.(2)当u≠0时,直线l的斜率存在,且(1,k)与a=(u,v)都是直线l的方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1×v=k×u,
微思考设l是平面直角坐标系中的一条直线,且倾斜角为45°,你能写出该直线的方向向量吗?提示 (1,1).
微练习(1)已知直线过两点A(-1,-2),B(3,2),试写出直线的一个方向向量v= . (2)直线l的一个方向向量a=(1,1),则直线l的斜率是 . 答案 (1)(4,4)(答案不唯一) (2)1 解析 (1)根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为 =(3-(-1),2-(-2))=(4,4),∴取v=(4,4).
课堂篇 探究学习
探究一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
答案 D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
反思感悟 求直线的倾斜角的方法及两点注意1.方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.2.两点注意:(1)当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.(2)注意直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
变式训练1 已知直线l1的倾斜角为α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°, 直线l2与x轴交于点B,如图所示,求直线l2的倾斜角.解 ∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°,l2与x轴交于点B,∴直线l2的倾斜角∠ABx=120°+15°=135°.
探究二直
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 直线的倾斜角、斜率及其关系 课件
