2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第1章 空间向量与立体几何章末综合提升学案

第1章 空间向量与立体几何 章末综合提升 类型1　空间向量的线性运算和数量积 空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算． 【例1】　(1)(多选题)如图，在四棱锥 S ­ ABCD 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形， S 到 A ， B ， C ， D 的距离都等于2．以下选项正确的是(　　) A． ＋ ＋ ＋ ＝ 0 B．( － )·( － )＝0 C． － ＋ － ＝ 0 D． · ＝ · (2)如图所示，在平行六面体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°． ①求 的长； ②求 与 夹角的余弦值． (1) BCD 　[因为 ＋ ＋ ＋ ＝( ＋ )＋( ＋ )＝4 ≠ 0 ，所以A错误；( － )·( － )＝ · ＝0，所以B正确； － ＋ － ＝ ＋ ＝ 0 ，所以C正确；又因为底面 ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝ SB ＝ SC ＝ SD ＝2，所以 · ＝2×2×cos∠ ASB ， · ＝2×2×cos∠ CSD ，而∠ ASB ＝∠ CSD ，于是 · ＝ · ，因此D正确．] (2)[解]　记 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则| a |＝| b |＝| c |＝1， 〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝60°， ∴ a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝ ． ①| | 2 ＝( a ＋ b ＋ c ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋2( a · b ＋ b · c ＋ c · a ) ＝1＋1＋1＋2× ＝6， ∴| |＝ ．即 AC 1 的长为 ． ② ＝ b ＋ c － a ， ＝ a ＋ b ， ∴| |＝ ，| |＝ ， · ＝( b ＋ c － a )·( a ＋ b )＝ b 2 － a 2 ＋ a·c ＋ b·c ＝1， ∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ． 即 与 夹角的余弦值为 ． 类型2　利用空间向量证明平行、垂直问题 通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，然后通过向量的运算，得到空间图形的位置关系，用空间向量解决位置关系问题时，一般有“基底法”和“坐标法”两种方法，当不易建空间直角坐标系时，可选择“基底法”，“基底法”比“坐标法”更具有一般性． 【例2】　在四棱锥 P ­ ABCD 中， AB ⊥ AD ， CD ⊥ AD ， PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝ AD ＝ CD ＝2 AB ＝2， M 为 PC 的中点． (1)求证： BM ∥平面 PAD ； (2)平面 PAD 内是否存在一点 N ，使 MN ⊥平面 PBD ？若存在，确定 N 的位置；若不存在，说明理由． [解]　(1)证明：以 A 为原点，以 AB ， AD ， AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 B (1,0,0)， D (0,2,0)， P (0，0,2)， C (2,2,0)， M (1，1,1)， ∴ ＝(0,1,1)， 平面 PAD 的一个法向量为 n ＝(1,0,0)， ∴ · n ＝0，即 ⊥ n ， 又 BM ⊄ 平面 PAD ，∴ BM ∥平面 PAD ． (2) ＝(－1,2,0)， ＝(1,0，－2)， 假设平面 PAD 内存在一点 N ，使 MN ⊥平面 PBD ． 设 N (0， y ， z )，则 ＝(－1， y －1， z －1)， 从而 MN ⊥ BD ， MN ⊥ PB ， ∴ 即 ∴ ∴ N ，∴在平面 PAD 内存在一点 N ，使 MN ⊥平面 PBD ． 类型3　利用空间向量求距离 (1)空间距离的计算思路 ①点 P 到直线 l 的距离：已知直线 l 的单位方向向量为 u ， A 是直线 l 上的定点， P 是直线 l 外一点，设 ＝ a ，则向量 在直线 l 上的投影向量为 ＝( a·u ) u ，则点 P 到直线 l 的距离为 (如图1)． 图1 ②点 P 到平面 α 的距离：设平面 α 的法向量为 n ， A 是平面 α 内的定点， P 是平面 α 外一点，则点 P 到平面 α 的距离为 (如图2)． 图2 (2)通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 【例3】　长方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝4， AD ＝6， AA 1 ＝4， M 是 A 1 C 1 的中点， P 在线段 BC 上，且| CP |＝2， Q 是 DD 1 的中点，求： (1) M 到直线 PQ 的距离； (2) M 到平面 AB 1 P 的距离． [解]　如图，建立空间直角坐标系 Bxyz ，则 A (4,0,0)， M (2,3,4)， P (0,4,0)， Q (4,6,2)， B 1 (0,0,4)． (1)∵ ＝(－2，－3,2)， ＝(－4，－2，－2)， ∴ 在 上的投影的模＝ ＝ ＝ ＝ ． 故 M 到 PQ 的距离为 ＝ ＝ ． (2)设 n ＝( x ， y ， z )是平面 AB 1 P 的一个法向量，则 n ⊥ ， n ⊥ ， ∵ ＝(－4,0,4)， ＝(－4,4,0)，∴ 因此可取 n ＝(1,1,1)，由于 ＝(2，－3，－4)，那么点 M 到平面 AB 1 P 的距离为 d ＝ ＝ ＝ ，故 M 到平面 AB 1 P 的距离为 ． 类型4　利用空间向量求夹角 利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不做出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性． 【例4】　如图，在长方体 AC 1 中， AB ＝ BC ＝2， AA 1 ＝ ，点 E ， F 分别是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ，平面 BCC 1 B 1 的中心．以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角； (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值． [解]　(1)由题意得 A (2,0,0)， F ， B (2,2,0)， E (1,1， )， C (0,2,0)． ∴ ＝ ， ＝(－1，－1， )， ∴ · ＝1－2＋1＝0． ∴直线 AF 和 BE 所成的角为90°． (2)设平面 BEC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z )，又