百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考（新高考）数学（含答案）

2024 届 百世联盟 高三 下学期 开年摸底联考 （新高考） 数学试题 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 已知集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 复数 在复平面内对应的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3 ． 命题 “ ” 的否定为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4 ． 若双曲线 的实轴长为 2 ，离心率为 ，则双曲线的左焦点 到一条渐近线的距离为 （ ） A ． B ． C ． 1 D ． 2 5 ． 已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在内切球 （ 与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6 ． 已知实数 满足 ，设 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ．在 中， 为边 上一点， ，且 的面积为 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9 ．下列说法正确的是 （ ） A ．若随机变量 ，则 B ．若经验回归方程 中的 ，则变 量 与 正相关 C ．若随机变量 ，且 ，则 D ．若事件 与 为互斥事件，则 的对立事件与 的对立事件一定互斥 10 ．已 知函数 ，则以下结论正确的是 （ ） A ． 为 的一个周期 B ． 在 上有 2 个零点 C ． 在 处取得极小值 D ．对 11 ．已知定义在 上的函数 为奇函数，且对 ，都有 ，定义在 上的函数 为 的导函数，则以下结论一定正确的是 （ ） A ． 为奇函数 B ． C ． D ． 为偶函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12 ．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为 ，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为 ，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为 ，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为 _______ ． 13 ．已知 ，若 ，则 的最大值为 _______ ． 14 ． 已知抛 物线 的焦点为 ，直线 与 抛 物线 相切于点 （异于坐标原点 ） ，与 轴交于点 ，若 ，则 _______ ；向量 与 的夹角为 _______ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．（ 13 分）已知函数 ． （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）若直线 与曲线 相切，求 的值． （ 15 分）如图，在三棱台 中， ， ， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 17 ．（ 15 分）某数学兴趣小组模拟 “ 刮刮乐 ” 彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从 10 个数字 1 ， 2 ， 3 ， … ， 10 中随机抽取的 3 个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若 3 个数的积为 3 的倍数且不为 5 的倍数时， 中三等奖；若 3 个数的积为 5 的倍数且不为 3 的倍数时，中二等奖；若 3 个数的积既为 3 的倍数，又为 4 的倍数，且为 7 的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． （ 1 ）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； （ 2 ）假设每张彩票售价为 元，且三、二、一等奖的奖金分别为 5 元， 10 元， 50 元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求 的最小值． 18 ．（ 17 分）已知椭圆 的右焦点为 为椭圆上一点， 为坐标原点，直线 与 椭圆 交于另一点 ，直线 与椭圆交于另一点 （点 不重合）． （ 1 ）设直线 的斜率分别为 ，证明： ； （ 2 ）点 为直线 上一点，记 的斜 率 分别为 ，若 ，求点 的坐标． 19 ．（ 17 分）在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，则称数列 为 “ 数列 ” ． （ 1 ）若 ，试判断数列 是否为 “ 数列 ” ，请说明理由； （ 2 ）若数列 为 “ 数列 ” ，且 ，数列 为等比数列，且 ，求数列 的通项公式； （ 3 ）若正项数列 为 “ 数列 ” ，且 ，证明： ． 2024 届高三开年摸底联考 数学参考答案及评分意见 1 ． B 【解析】 ，所以 ．故选 B ． 2 ． C 【解析】 ，因为 ，所以复数 在复平面内对应的点在第三象限．故选 C ． 3 ． D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以 “ ” 的否定为 “ ” ．故选 D ． 4 ． A 【解析】设双曲线的焦距为 ，由题， ，得 ，故 ，所以 ，不妨取渐近线 ，则左焦点 到渐近线 的距离为 ．故选 A ． 5 ． D 【解析】由题可得圆台的母线长为 ，所以高 ，所以该圆台的体积 ，故选 D ． 6 ． D 【解析】因为 ，所以 ，又 为减函数，所以 ，即 ，又 ，故 ，所