知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.问题 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
知识点 用导数解决最优化问题的基本思路
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝x3－x2＋8（0≤x≤5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ） A.8B.C.－1D.－8A.8C.－1D.－8解析：原油温度的瞬时变化率为f'（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2.某产品的销售收入y1（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y1＝17x2，生产成本y2（万元）关于产量x（千台）的函数关系式为y2＝2x3－x2，已知x＞0，为使利润最大，应生产该产品 千台. 解析：由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝18x2－2x3（x＞0），y'＝36x－6x2，由y'＝0得x＝6（x＝0舍去），当x∈（0，6）时，y'＞0，y单调递增，当x∈（6，＋∞）时，y'＜0，y单调递减，则x＝6时，y有最大值.答案：6
02题型突破·析典例
题型一 几何中的最值问题【例1】 如图，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在半圆的直径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3.（1）写出体积V关于x的函数解析式；解 （1）因为BC＝x，所以｜OB｜＝.设圆柱底面半径为r，则＝πr，即π2r2＝900－x2，所以V＝πr2·x＝π··x＝，其中0＜x＜30.
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？解 （2）由V'＝＝0，得x＝10，又在（0，10）上V'＞0，在（10，30）上V'＜0，所以V＝在（0，10）上单调递增，在（10，30）上单调递减，所以当x＝10 cm时，V有最大值.即当x＝10 cm时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大.
通性通法1.利用导数解决实际问题中最值的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；（2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0；（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值；（4）把所得数学结论回归到实际问题中，看是否符合实际情况并下结论.
2.几何中最值问题的求解思路面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其容积最大，则其高应为（ ）A.cmB.cmC.5cmD.cm
解析：如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为r cm，高为h cm，则h2＋r2＝202，解得r＝，所以漏斗容积V＝πr2h＝π·（400－h2）h＝π·（400h－h3）（0＜h＜20）.所以V'＝π（400－3h2），令V'＝0，得h＝或h＝－（舍去）.当0＜h＜时，V'＞0，V单调递增；当＜h＜20时，V'＜0，V单调递减，所以当h＝ cm时，V最大.故选D.
题型二 用料、费用最少问题【例2】 现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元.（1）把全程运输成本y表示为速度x的函数；解 （1）依题意得y＝（960＋0.6x2）＝＋300x，函数的定义域为（0，30]，即y＝＋300x（0＜x≤30）.
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 （2）∵y＝＋300x（0＜x≤30），∴y'＝－＋300.令y'＝0，解得x＝40或x＝－40（舍去）.∵函数的定义域为（0，30]，当0＜x≤30时，y'＜0，∴函数y＝＋300x在区间（0，30]内单调递减，∴当x＝30时，函数y＝＋300x取得最小值，∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile 的速度行驶.
通性通法 费用、用料最少问题是日常生活中常见的最值问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册实际问题中的最值问题课件
