2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.1.2　第1课时 椭圆的简单几何性质 学案

3 ． 1.2 　椭圆的简单几何性质 第 1 课时　椭圆的简单几何性质 课程标准 1 ．掌握椭圆的简单几何性质． 2 ．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响． 学法解读 1 ．依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质． ( 数学抽象 ) 2 ．依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究其几何性质． ( 数学运算 ) 3 ．能综合利用椭圆的几何性质解决相关的问题． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 ＋ ＝ 1( a > b >0) ＋ ＝ 1 ( a > b >0) 范围 _ － a ≤ x ≤ a ，－ b ≤ y ≤ b __ _ － b ≤ x ≤ b ，－ a ≤ y ≤ a __ 顶点 _ A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) ， B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) __ _ A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) ， B 1 ( － b, 0) ， B 2 ( b, 0) __ 轴长 短轴长＝ _ 2 b __ ，长轴长＝ _ 2 a __ 焦点 (± ， 0) (0 ， ± ) 焦距 | F 1 F 2 | ＝ 2 对称性 对称轴： _ x 轴、 y 轴 __ 对称中心： _ 原点 __ 离心率 e ＝ ∈ _ (0,1) __ 思考：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？ 提示：最大值 a ＋ c ，最小值 a － c . 做一做： 1. 椭圆 ＋ ＝ 1 的长轴长、焦距分别为 ( B ) A ． 2,1 　 B ． 4,2 C. ， 1 　 D ． 2 ， 2 [ 解析 ] 　由题意知 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 3 ，则 c 2 ＝ 1 ， 从而 2 a ＝ 4,2 c ＝ 2 ，故选 B. 2 ．已知椭圆 ＋ ＝ 1 ，则椭圆的离心率 e ＝ 　 . [ 解析 ] 　由题意知 a 2 ＝ 16 ， b 2 ＝ 9 ，则 c 2 ＝ 7 ，从而 e ＝ ＝ . 题型探究 题型一　椭圆的主要几何量 典例 1 求椭圆 9 x 2 ＋ 16 y 2 ＝ 144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [ 分析 ] 　由题目可获取以下主要信息： ① 已知椭圆的方程； ② 研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质． [ 解析 ] 　把已知方程化成标准方程 ＋ ＝ 1 ， 于是 a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， c ＝ ＝ ， ∴ 椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a ＝ 8 和 2 b ＝ 6 ，离心率 e ＝ ＝ ， 两个焦点坐标分别是 ( － ， 0) 、 ( ， 0) ， 四个顶点坐标分别是 ( － 4,0) 、 (4,0) 、 (0 ，－ 3) 、 (0,3) ． [ 规律方法 ] 　 1. 由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1) 化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2) 由标准形式求 a 、 b 、 c ，写出其几何性质． 2 ．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1) 椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2) 椭圆的范围决定椭圆的大小； (3) 椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4) 对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点． 对点训练 ❶ 设椭圆方程 mx 2 ＋ 4 y 2 ＝ 4 m ( m >0) 的离心率为 ，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． [ 解析 ] 　椭圆方程可化为 ＋ ＝ 1. (1) 当 0< m <4 时， a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， ∴ e ＝ ＝ ＝ ， ∴ m ＝ 3 ， ∴ b ＝ ， c ＝ 1 ， ∴ 椭圆的长轴长和短轴长分别是 4,2 ，焦点坐标为 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) ，顶点坐标为 A 1 ( － 2,0) ， A 2 (2 ， 0) ， B 1 (0 ，－ ) ， B 2 (0 ， ) ． (2) 当 m >4 时， a ＝ ， b ＝ 2 ， ∴ c ＝ ， ∴ e ＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝ ， ∴ a ＝ ， c ＝ ， ∴ 椭圆的长轴长和短轴长分别为 ， 4 ，焦点坐标为 F 1 ， F 2 ，顶点坐标为 A 1 ， A 2 ， B 1 ( － 2,0) ， B 2 (2,0) ． 题型二　由椭圆的几何性质求标准方程 典例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1) 椭圆过点 (3,0) ，离心率 e ＝ ； (2) 在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8. [ 分析 ] 　 (1) 中由离心率 e ＝ ，及 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数，再由过点 (3,0) 可求之． (2) 设短轴端点为 A ， F 为一个焦点，由条件知 △ OAF 为等腰直角三角形，于是 a 、 b 、 c 可求之． [ 解析 ] 　 (1) 若焦点在 x 轴上，则 a ＝ 3 ， ∵ e ＝ ＝ ， ∴ c ＝ ， ∴ b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 9 － 6 ＝ 3. ∴ 椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 若焦点在 y 轴上，则 b ＝ 3 ， ∵ e ＝ ＝ ＝ ＝ ， 解得 a 2 ＝ 27. ∴ 椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 综上可知椭圆方程为 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1. (2) 设椭圆的方程为 ＋ ＝ 1( a > b >0) ． 如图所示， △ A 1 FA 2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线 ( 高 ) ， 且 | OF | ＝ c ， | A 1 A 2 | ＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 4 ， ∴ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＝ 32 ， 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. [ 规律方法 ] 　 1. 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为： (1) 确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式； (2) 确立关于 a 、 b 、 c 的方程 ( 组 ) ，求出参数 a 、 b 、 c ； (3) 写出标准方程． 2 ．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长