知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一 导数几何意义的应用1.导数的几何意义的应用,主要体现在与切线方程相关的问题,是高考的热点内容之一,呈现形式为选择、填空、解答,一般中等难度.2.导数几何意义考查的核心素养是数学运算和直观想象.
【例1】 (1)如图,点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))在函数f(x)的图象上,且x2<x1,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x1)与f'(x2)的大小关系是( )A.f'(x1)>f'(x2) B.f'(x1)<f'(x2)C.f'(x1)=f'(x2) D.不能确定A
解析 根据题意,点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x1)为点A处切线的斜率,设其斜率为k1,f'(x2)为点B处切线的斜率,设其斜率为k2,由函数的图象可得k1>k2,即有f'(x1)>f'(x2).故选A.
D
规律方法 利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,点(x0,y0)不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由 =f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再转化为第一种类型.
变式训练1(1)已知函数f(x)的图象如图所示,设f'(x)是f(x)的导函数,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系正确的是( )A.f'(xA)>f'(xB)B.f'(xA)<f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB)D.f'(xA)与f'(xB)的大小关系不确定A 解析 由导数的几何意义可知f'(xA)与f'(xB)分别为点A,B处的切线斜率,结合图象可知,f'(xA)>f'(xB),故选A.
(2)过点(0,-1)作曲线f( )=ln x(x>0)的切线,则切点坐标为 .
专题二 函数的单调性、极值、最值问题1.函数的单调性、极值、最值是函数的重要性质,也是高考的热点,利用导数研究函数的单调性是研究此类问题的根本.2.掌握函数的单调性、极值、最值,重点提升数学运算和直观想象素养,运用数形结合、分类讨论等数学思想.
角度1.利用导数求函数的单调区间【例2】 已知函数f(x)=e2x+(1-2m)·ex-mx(m∈R),讨论f(x)的单调性.解 f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2x+(1-2m)ex-m=(2ex+1)(ex-m),∴当m≤0时,f'(x)>0,即f(x)在R上单调递增;当m>0时,令f'(x)=0,解得x=ln m,∴在区间(-∞,ln m)上,f'(x)<0,在区间(ln m,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)在区间(-∞,ln m)内单调递减,在区间(ln m,+∞)内单调递增.综上所述,当m≤0时,f(x)在R上单调递增;当m>0时,f(x)在区间(-∞,ln m)内单调递减,在区间(ln m,+∞)内单调递增.
规律方法 利用导数求函数的单调区间转化为解不等式问题,常见的有解二次不等式、指数不等式、对数不等式.当解含参不等式时需要进行分类讨论,注意要做到不重不漏.
变式训练2[2023安徽合肥一中校考期中]已知函数f(x)=x2-ax+2ln x.(1)若a=1,求f(x)在(1,0)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调区间.
①当Δ≤0,即-4≤a≤4时,p(x)≥0,即f'(x)≥0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.②当Δ>0,即a<-4或a>4时,当a<-4时,p(0)=2,则p(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
由f'(x)>0,即p(x)>0,得0<x<x1或x>x2;由f'(x)<0,即p(x)<0,得x1<x<x2.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,x1),(x2,+∞),单调递减区间为(x1,x2).综上所述,当a≤4时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
角度2.构造法的应用【例3】 已知定义在(0, )内的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有sin x·f'(x)>cos x·f(x)成立,则( )D
【例4】 已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为( )A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞)C∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上为减函数.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式等价于g(x)<g(0).∵函数g(x)为减函数,∴x>0,∴不等式f(x)<2ex的解集为(0,+∞),故选C.
规律方法 导数问题中的构造方法主要用于解决比较函数值大小或求解不等式.解决比较函数值大小的题目关键是构造出恰当的函数,求出该函数的导数,利用单调性进而确定函数值的大小;对于求解不等式则需构造恰当的函数并判断其单调性,利用单调性求解不等式.
变式训练3已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),当x≠0时, ,则a,b,c的大小关系正确的是( )A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.c<a<bB
解析 令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.g'(x)=f(x)+xf'(x),
专题三 导数的综合应用【例5】 设函数f(x)=(x+a)ln x-x+a,a∈R.(1)设g(x)=f'(x),求函数g(x)的极值;(2)若a≥ ,试讨论函数f(x)=(x+a)ln x-x+a的零点个数.
解 (1)∵f(x)=(x+a)ln x-x+a,a∈R,∴g(x)=f'(x)=ln x+ ,定义域为(0,+∞).①当a≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值.②当a>0时,令g'(x)=0,解得x=a,∴当x∈(0,a)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)的极小值g(a)=ln a+1,无极大值.
规律方法 利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时,注意运用构造函数和转化思想,确定零点个数时多用零点存在定理.
变式训练5[2023重
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册导数应用本章总结提升课件
