2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.4.1 平面 学案

8 ． 4.1 　平面 课程标准 1. 了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2 ．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 3 ．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和推论，理解三个基本事实的地位与作用． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　平面 1 ．平面 ❶ 的概念 几何中所说的 “ 平面 ” ，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周 ________ 的． 2 ．平面的画法 我们常画一个 ______________ 表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 ________ ； 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 ________ ． 3 ．平面的表示法 (1) 用希腊字母 α ， β ， γ 来表示平面，并写在代表平面的平行四边形的一个角内，如平面 α . (2) 用代表平面的平行四边形的四个顶点表示平面，如 ________ ． (3) 用代表平面的平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母表示平面，如 ________ ． 要点二　平面的基本性质及作用 (1) 基本事实 内容 图形 符号 基本事实 1 ❷ 过不在一条直线上的三个点， ________ 一个平面 A ， B ， C 三点不共线 ⇒ 存在唯一的平面 α 使 A ， B ， C ∈ α 基本事实 2 ❸ 如果一条直线上的 ________ 在一个平面内，那么这条直线在 ______ A ∈ l ， B ∈ l ，且 A ∈ α ， B ∈ α ⇒________ 基本事实 3 ❹ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 ________ P ∈ α 且 P ∈ β ⇒ α ＝ l ，且 P ∈ l (2) 利用基本事实 1 和基本事实 2 ，再结合 “ 两点确定一条直线 ” ，可以得到下面三个推论： 推论 1 　 __________________ ，有且只有一个平面． 推论 2 　 __________________ ，有且只有一个平面． 推论 3 　 __________________ ，有且只有一个平面． 助 学 批 注 批注 ❶ 　 (1) 平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量； (2) 平面无厚薄、无大小，是无限延展的． 批注 ❷ 　基本事实 1 的作用： ① 用直线检验平面 ( 常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆 ) ； ② 判断直线是否在平面内 ( 经常被用于立体几何的说理中 ) ． 批注 ❸ 　 基本事实 2 的作用： ① 确定平面； ② 证明点、线共面．基本事实 2 中要注意条件 “ 不在同一条直线上的三点 ” ，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视 “ 不在同一条直线上的三点 ” 这一条件的重要性． 批注 ❹ 　基本事实 3 的主要作用： ① 判定两个平面是否相交； ② 证明共线问题； ③ 证明线共点问题．基本事实 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明， “ 两个平面 ” 是指不重合的两个平面． 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 有一个平面的长是 50 m ，宽是 20 m ，厚 20 cm.( 　　 ) (2) 一条直线和一个点可以确定一个平面． ( 　　 ) (3) 空间不同的三点可以确定一个平面． ( 　　 ) (4) 四边形是平面图形． ( 　　 ) 2 ． ( 多选 ) 如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面可以记为 ( 　　 ) A. 平面 MN B ．平面 NQP C. 平面 α D ．平面 MNPQ 3 ．点 A 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 内，用符号表示，正确的是 ( 　　 ) A. A ∈ l ， l ∈ α B ． A ∈ l ， l ∉ α C. A ⊂ l ， l ⊂ α D ． A ∈ l ， l ⊂ α 4 ． 根据图，填入相应的符号： A ______ 平面 ABC ， BD ______ 平面 ABC ，平面 ABC ∩ 平面 ACD ＝ ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　证明点、线共面 例 1 　如图所示， l 1 ＝ A ， l 2 ＝ B ， l 1 ＝ C . 求证：直线 l 1 ， l 2 ， l 3 在同一平面内． 题后师说 证明点、线共面的 2 种常用方法 巩固训练 1 　 如图，已知 a ⊂ α ， b ⊂ α ， a ＝ A ， P ∈ b ， PQ ∥ a ，求证： PQ ⊂ α . 题型 2 　三点共线问题 例 2 　 已知 △ ABC 在平面 α 外， AB ＝ P ， AC ＝ R ， BC ＝ Q ，如图．求证： P 、 Q 、 R 三点共线． 题后师说 证明三点共线的方法 巩固训练 2 　 如图， E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点 ，且直线 EH 与直线 FG 交于点 O . 求证： B ， D ， O 三点共线． 题型 3 　三线共点问题 例 3 　如图，已知平面 α ， β ，且 ＝ l ，设梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，且 AB ⊂ α ， CD ⊂ β . 求证： AB ， CD ， l 共点． 题后师说 证明三线共点的一般步骤 巩固训练 3 　 如图，已知空间四边形 ABCD 中， E 、 H 分别为 BC 、 AB 的中点， F 在 CD 上， G 在 AD 上，且有 DF ∶ FC ＝ DG ∶ GA ＝ 1∶2. 求证：直线 EF 、 BD 、 HG 交于一点． 8 ． 4.1 　平面 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点一 1 ．无限延展 2 ．平